2024-2025学年河北省省级示范性高中联合测评高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省省级示范性高中联合测评高一下学期3月月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，x,y∈R，若x−ii=y−2i，则( )
A. x=−2,y=−1B. x=2,y=−1C. x=−2,y=1D. x=2,y=1
2.在▵ABC中，设AB=a,AC=b，若BM=4MC，则AM=( )
A. 14a+34bB. 34a+14bC. 45a+15bD. 15a+45b
3.已知复数z的实部与虚部互为相反数，且z⋅z=2，则满足条件的复数z的个数为( )
A. 0B. 2C. 4D. 无数个
4.已知向量a,b满足a=−2,1,b=−1,3，则b在a上的投影向量为( )
A. −2,1B. −2,3C. −25,15D. −1,3
5.在▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sin2BcsA=sinCcsB，则▵ABC的形状为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
6.在▵ABC中，已知AC=λMC，点P在线段BM上，若AP=25AB+AC，则λ=( )
A. 2B. 32C. 3D. 43
7.某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在B､C处测得雕像最高点的仰角分别为π4和π6，且A=π2，BC=2.92m，则该雕像的高度AD约为( )(参考数据： 3≈1.73)

A. 4.0mB. 4.6mC. 5.2mD. 6.2m
8.已知向量a=−csx4,sinx4,b=cs7x4,sin7x4，则a⋅b+a−b的最大值为( )
A. 2B. 32C. 1D. −12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a,b满足a=1,b=2，它们的夹角为π3，则下列向量中，与向量a−b的模相等的向量有( )
A. 3aB. b−2aC. 12b+2aD. 3b−a
10.已知复数z=3−4i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A. z=5
B. 复数1z的虚部为−425
C. 若z对应的向量为OA,1+i对应的向量为OB，则向量AB对应的复数为−2+5i
D. 若复数z是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一个根，则p+q=19
11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知M是▵ABC内一点，△BMC、▵AMC、▵AMB的面积分别为SA、SB、SC，且SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0.则下列说法正确的是( )
A. 若SA:SB:SC=1:1:1，则M为▵ABC的重心
B. 若SA:SB:SC=1:2:3，则AM=13AB+12AC
C. 若AM=14AB+13AC，则SAS▵ABC=13
D. 若M为▵ABC的内心，且3MA+4MB+ 7MC=0，则csC=34
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足1+iz=1−i，则z2025= ．
13.定义向量a,b的一种新运算：a×b=absinθ，其中θ是向量a,b的夹角.已知a= 3,b=2,a×b=3 22，则cs2θ= ．
14.已知点P为等腰▵ABC外接圆⊙M上的一个动点，AC=2BC=4，则PB⋅PC的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=1,2,b=2,−1,c=m,2,m∈R．
(1)当a+b⊥λa−b时，求实数λ的值；
(2)当b//a+c时，求向量a与c的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知复数z=2+ai(a∈R,i为虚数单位)，其共轭复数为z．
(1)若复数3+i⋅z为纯虚数，求实数a的值；
(2)若复数3+i⋅z是实数，求实数a的值；
(3)若z1=z1−i，且复数z1在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 3bcsC−csinB= 3a,a=4,▵ABC的面积为7 3．
(1)求角B的大小；
(2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D，求BD的长度．
18.(本小题17分)
某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形ABCD划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，AD=300m,BA⊥AD，∠CBA=3π4,∠ACD=π4.设∠BAC=α,α∈π24,5π24．
(1)用α表示▵ACD的面积S，并求S的最大值；
(2)为了提高观赏效果，计划在AB和BC边上安装护栏，其中BC边上的护栏需要进行延长设计，因此一共需安装长度为AB+ 2BC的护栏，若该护栏每米造价为200元，求建造护栏所需费用的最小值.(参考数据：sinπ12≈0.26,sin5π12≈0.97)
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量a=x1,y1,b=x2,y2，定义这两个向量的“相离度”为da,b=x1y2−x2y1 x12+y12⋅ x22+y22，容易知道a,b平行的充要条件为da,b=0．
(1)已知向量a= 5,2,b=1,−4 5，求da,b；
(2)(i)设向量a,b的夹角为θ，证明：da,b=sinθ；
(ii)在▵ABC中，AB=4,AC=8,D为BC的中点，且AD=2 7，若AD=2PD，求dAP,BP．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.D
6.C
7.A
8.B
9.AC
10.ACD
11.ABD
12.−i
13.14
14.−1415,14
15.(1)由题意可得a+b=3,1,λa−b=λ,2λ−2,−1=λ−2,2λ+1，
因为a+b⊥λa−b，所以3λ−2+2λ+1=0⇒λ=1．
(2)a+c=1+m,4，
因为b//a+c，所以8+m+1=0⇒m=−9，
所以c=−9,2，
所以csa,c=a⋅cac=−5 5× 85=− 1717，
即向量a与c的夹角的余弦值为− 1717．

16.(1)易知3+i⋅z=3+i2+ai=6+3ai+2i+ai2=6−a+3a+2i，
若复数3+i⋅z为纯虚数，可得6−a=03a+2≠0,
解得a=6；
(2)由z=2+ai可得z=2−ai，
所以3+i⋅z=3+i⋅2−ai=6−3ai+2i−ai2=6+a+2−3ai，
若复数3+i⋅z是实数，可得2−3a=0，
解得a=23；
(3)易知z1=z1−i=2+ai1−i=2+ai1+i1−i1+i=2+2i+ai+ai21−i2=2−a+2+ai2=2−a2+2+a2i，
易知复数z1在复平面内所对应的点坐标为2−a2,2+a2，
又复数z1在复平面内所对应的点位于第二象限，可得2−a20,
解得a>2．
即实数a的取值范围为2,+∞．

17.(1)在▵ABC中，由 3bcsC−csinB= 3a及正弦定理，得 3sinBcsC−sinCsinB= 3sinA，
则 3sinBcsC−sinCsinB= 3sin(B+C)= 3sinBcsC+ 3csBsinC，
即−sinCsinB= 3csBsinC，而sinC>0，于是tanB=− 3，而0