2024-2025学年河北省沧州市三县学校联考高一下学期第一次月考数学试卷（3月）（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省沧州市三县学校联考高一下学期第一次月考数学试卷（3月）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=6,−3,b=−4,m，若a与b共线，则m=( )
A. 2B. −2C. 8D. −8
2.在▵ABC中，下列结论错误的是( )
A. AB=−BAB. AB+BC=AC
C. CA−CB=ABD. BC−2CB=3BC
3.已知▵ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若A:B:C=1:1:4，则a:b:c=( )
A. 1:1:4B. 1:1:2C. 2: 3:1D. 1:1: 3
4.在▵ABC中，∠B=π3,AB=8,AC=7，则BC=( )
A. 5B. 3或5C. 4D. 2或4
5.已知向量a,b满足a=2,b=1，且b⊥a−b，则b在a上的投影向量为( )
A. −14aB. 14aC. −12aD. 12a
6.已知向量a=csθ,813,b=csθ+2sinθ,1，若a⊥b，则tanθ=( )
A. 32或74B. 32或−74C. −32或−74D. −32或74
7.为了测量A、B两岛屿之间的距离，一艘测量船在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15 ∘、北偏东45 ∘方向．再往正东方向行驶48海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60 ∘方向，则A、B两岛屿之间的距离为( )
A. 28 3海里B. 28 6海里C. 24 3海里D. 24 6海里
8.如图，正方形ABCD的边长为2,M,N分别为AB,BC边上的动点，若E为MN的中点，且满足BE=1，则DM⋅DN的最小值为( )
A. 8−4 2B. 4C. 16−8 2D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列各组向量中，e1,e2不能作为基底的是( )
A. e1=−1,0,e2=0,−1B. e1=1,e2=−2e1
C. e1=2,−1,e2=−6,3D. e1⋅e2≠0,e1⋅e2=e1e2
10.已知▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则( )
A. a≥bsinA
B. 若sinAa=2，则sinB+sinCb+c=2
C. 若a2+b2>c2，则▵ABC为锐角三角形
D. 若a= 2,b= 3,A=45∘，则▵ABC的形状能唯一确定
11.已知两个非零向量a,b的夹角为θ，定义运算⊗:a⊗b=a⋅b⋅sinθ，则下列说法正确的是( )
A. 若a⊗b=0，则a//b
B. λa⊗b=λa⊗bλ≠0
C. 若a=1,1,b=−2,1，则a⊗b=3
D. 若a⊗b= 3,a⋅b=1，则2a+b的最小值为 6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.与a=5,−12垂直的单位向量的坐标为 ．
13.在边长为2的菱形ABCD中，M,N分别为BC,CD的中点，AM⋅AB=5，则AM⋅AN= ．
14.如图，在扇形AOB中，∠AOB=60 ∘，OA=14m，点C在扇形AOB内部，OC⊥AC，∠AOC=∠OBC，则阴影部分的面积为 m2．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为(3,1),(−4,2),(−1,4)．

(1)写出向量AB,AC,BC的坐标;
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标．
16.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sin2A+ 3sinBsinC=sin2B+sin2C．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2bcsC，判断▵ABC的形状并说明理由．
17.(本小题12分)
已知向量a,b满足b=1，且a+2b⋅a−2b=2,a⋅a−b=4．
(1)求向量a与2a−b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量a−3tb与ta−3b的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=2BC=2CD=2DA,M为线段BC的中点，AM与BD交于点N,P为线段CD上的一个动点．

(1)用基底AB,AD表示AM；
(2)求BNND的值；
(3)设AC=xDB+yAP，求xy−2的取值范围．
19.(本小题12分)
在▵ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点．
(1)若CD=DB，证明：BC+2ACcs∠ACB=0；
(2)若∠ACD=π3,AD= 3．
(i)求▵ABC面积的最大值；
(ii)求BC的最小值．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.B
6.C
7.D
8.A
9.BCD
10.AB
11.AC
12.(1213,513)或(−1213,−513)
13.132
14.983π−42 3
15.【详解】(1)AB=(−4,2)−(3,1)=(−7,1)，
AC=(−1,4)−(3,1)=(−4,3)，
BC=(−1,4)−(−4,2)=(3,2)．
(2)设D(x,y)，由AD=BC=(3,2)，可得x−3=3,y−1=2，
所以x=6,y=3，故D(6,3)．

16.【详解】(1)在▵ABC中，因为sin2A+ 3sinBsinC=sin2B+sin2C，
所以由正弦定理得a2=b2+c2− 3bc，b2+c2−a2= 3bc
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc= 3bc2bc= 32，
由00，且−3t2≠−3，
解得12