河北省省级示范高中联合测评2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省省级示范高中联合测评2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知为虚数单位，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．在中，设，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知复数的实部与虚部互为相反数，且，则满足条件的复数的个数为（ ）
A．0B．2C．4D．无数个
4．已知向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形或等腰三角形
6．在中，已知，点在线段上，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
7．某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：）

A．B．C．D．
8．已知向量，则的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
二、多选题
9．已知向量满足，它们的夹角为，则下列向量中，与向量的模相等的向量有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程的一个根，则
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，则
D．若为的内心，且，则
三、填空题
12．已知复数满足，则 .
13．定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则 .
14．已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为 .
四、解答题
15．已知向量.
(1)当时，求实数的值；
(2)当时，求向量与的夹角的余弦值.
16．已知复数（为虚数单位），其共轭复数为.
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若复数是实数，求实数的值；
(3)若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
17．在中，内角所对的边分别为的面积为.
(1)求角的大小；
(2)若的平分线交于点，求的长度.
18．某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，.设.
(1)用表示的面积，并求的最大值；
(2)为了提高观赏效果，计划在和边上安装护栏，其中边上的护栏需要进行延长设计，因此一共需安装长度为的护栏，若该护栏每米造价为200元，求建造护栏所需费用的最小值.（参考数据：）
19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为.
(1)已知向量，求；
(2)（i）设向量的夹角为，证明：；
（ii）在中，为的中点，且，若，求.
参考答案
1．C
【详解】由，化简得
所以.
故选：C
2．D
【详解】在中，；①
在中，；②
①+②，得
因为，所以，
即
故选：D.
3．B
【详解】由复数z的实部与虚部互为相反数，
可设，则，
，
解得，
所以或，
故选：B.
4．A
【详解】由题意，，
所以在上的投影向量为，
故选：A．
5．D
【详解】，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
6．C
【详解】当时，三点共线，与题意矛盾，所以，
因为，所以，
则，
因为三点共线，
所以，解得.

故选：C.
7．A
【详解】，，
，则，
在中，，
，即.
所以该雕像的高度约为4m.
故选：A.
8．B
【详解】由题，
，
所以
，
所以，
令，则，.
所以时取得最大值为.
故选：B
9．AC
【详解】因为，夹角为，所以,.
对于A，，A正确；
对于B，,B不正确；
对于C，,C正确；
对于D，，D不正确.
故选：AC
10．ACD
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，故复数的虚部为，B错误；
C选项，由题意，又，则向量，
故向量对应的复数为，C正确；
D选项，若复数是关于的方程的一个根，
则，故和均为方程的根，
故，
所以，
故，，，D正确.
故选：ACD
11．ABD
【详解】对于A选项，若，则，
取线段的中点，连接，则，
所以，，即，故、、三点共线，
分别取线段、的中点、，连接、，
同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心，
因此，若，则为的重心，A对；
对于B选项，若，由“奔驰定理”可得，
所以，，所以，，
故，B对；
对于C选项，若，即，
即，即，
又，不共线，
所以，
所以由“奔驰定理”可得，C错；
对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为，
则，
因为，则，故，
设，则，，则，故为直角，
所以，，D对.
故选：ABD.
12．
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：
13．
【详解】因为，所以，
解得，则.
故答案为：.
14．
【详解】在等腰中，，则，
若，则，矛盾；
若，则，合乎题意.
由于余弦定理可得，
设，，
当点在优弧（不包括点、）上运动时，，则，
由余弦定理可得，
所以，，当且仅当点与点重合时，等号成立，
又因为，此时，，
此时，；
当点与点或点重合时，；
当点在劣弧（不包括点、）上运动时，，
此时，，
由余弦定理可得，
即，当且仅当点为劣弧的中点时，等号成立，
又因为，则，
此时，.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)1
(2)
【详解】（1）由题意可得，
因为，所以.
（2），
因为，所以，
所以，
所以，
即向量与的夹角的余弦值为.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）易知，
若复数为纯虚数，可得，
解得；
（2）由可得,
所以,
若复数是实数，可得，
解得；
（3）易知，
易知复数在复平面内所对应的点坐标为，
又复数在复平面内所对应的点位于第二象限，可得，
解得.
即实数的取值范围为.
17．(1)；
(2).
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，
即，而，于是，而，
所以.
（2）由（1）知，，又，的面积为，
则，即，解得，
由，得，，
所以.
18．(1)，
(2)75600元
【详解】（1）在中，，，则，
由正弦定理，，即，
解得，
，
，则，，
所以当，即时，取得最大值，最大值为.
（2）在中，由正弦定理，得，
同理可得，
，
，，
因为在上单调递增，所以，
，
所以建造护栏所需费用的最小值为元.
19．(1)
(2)(i)证明见解析，（ii)
【详解】（1）由，，
可得：
（2）（i）因为
，
且，，则，
所以.
（ii）因为D为中点，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的中点，则，
可得，
即
则，
，
，
可得，
所以.