河北省省级示范性高中联合测评2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省省级示范性高中联合测评2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了 已知向量，则的最大值为， 已知复数等内容，欢迎下载使用。
数学
班级__________姓名__________
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效，
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为虚数单位，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数相等即可求解.
【详解】由，化简得
所以.
故选：C
2. 在中，设，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件结合向量的线性运算即可得答案.
【详解】在中，；①
在中，；②
①+②，得
因为，所以，
即
故选：D.
3. 已知复数的实部与虚部互为相反数，且，则满足条件的复数的个数为（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 无数个
【答案】B
【解析】
【分析】由复数z的实部与虚部互为相反数可设，利用复数的乘法运算化简即可求得a的值，则答案可求.
【详解】由复数z的实部与虚部互为相反数，
可设，则，
，
解得，
所以或，
故选：B.
4. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解．
【详解】由题意，，
所以在上的投影向量为，
故选：A．
5. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状.
【详解】，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
6. 在中，已知，点在线段上，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】将用表示，再根据三点共线，结合平面向量共线定理的推论即可得解.
【详解】当时，三点共线，与题意矛盾，所以，
因为，所以，
则，
因为三点共线，
所以，解得.

故选：C.
7. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得，则，在中，列式运算得解.
【详解】，，
，则，
在中，，
，即.
所以该雕像的高度约为4m.
故选：A.
8. 已知向量，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积公式求出，再求出，最后将二者相加并结合三角函数和二次函数性质即可求出最大值.
【详解】由题，
，
所以
，
所以，
令，则，.
所以时取得最大值为.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量满足，它们的夹角为，则下列向量中，与向量的模相等的向量有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分别求解题干和选项中向量的模长可得答案.
【详解】因为，夹角为，所以,.
对于A，，A正确；
对于B，,B不正确；
对于C，,C正确；
对于D，，D不正确
故选：AC
10. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D. 若复数是关于的方程的一个根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，根据模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则和虚部的概念得到B错误；C选项，根据复数的几何意义来判断；D选项，和均为方程的根，由韦达定理求解即可.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，故复数的虚部为，B错误；
C选项，由题意，又，则向量，
故向量对应的复数为，C正确；
D选项，若复数是关于的方程的一个根，
则，故和均为方程的根，
故，
所以，
故，，，D正确.
故选：ACD
11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为的重心
B. 若，则
C. 若，则
D. 若为的内心，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据重心性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，
取线段的中点，连接，则，
所以，，即，故、、三点共线，
分别取线段、的中点、，连接、，
同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心，
因此，若，则为的重心，A对；
对于B选项，若，由“奔驰定理”可得，
所以，，所以，，
故，B对；
对于C选项，若，即，
即，即，
又，不共线，
所以，
所以由“奔驰定理”可得，C错；
对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为，
则，
因为，则，故，
设，则，，则，故为直角，
所以，，D对.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数满足，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，再利用复数乘方运算求得答案.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：
13. 定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据定义得到方程，求出，再用余弦二倍角公式求出答案.
【详解】因为，所以，
解得，则.
故答案为：.
14. 已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，作出图形，设，，利用余弦定理求出的值，对点的位置进行分类讨论，求出的值，利用余弦定理结合基本不等式可求出的取值范围，再利用平面向量数量积的定义可求得的取值范围.
【详解】在等腰中，，则，
若，则，矛盾；
若，则，合乎题意.
由于余弦定理可得，
设，，
当点在优弧（不包括点、）上运动时，，则，
由余弦定理可得，
所以，，当且仅当点与点重合时，等号成立，
又因为，此时，，
此时，；
当点与点或点重合时，；
当点在劣弧（不包括点、）上运动时，，
此时，，
由余弦定理可得，
即，当且仅当点为劣弧的中点时，等号成立，
又因为，则，
此时，.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求向量与的夹角的余弦值.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解；
（2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得.
【小问1详解】
由题意可得，
因为，所以.
【小问2详解】
，
因为，所以，
所以，
所以，
即向量与的夹角的余弦值为.
16. 已知复数（为虚数单位），其共轭复数为.
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若复数是实数，求实数的值；
（3）若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由复数的乘法运算以及纯虚数的定义即可得出；
（2）结合共轭复数以及实数的定义即可得出；
（3）利用复数除法计算以及复数的几何意义解不等式即可求出结果.
【小问1详解】
易知，
若复数为纯虚数，可得，
解得；
【小问2详解】
由可得,
所以,
若复数是实数，可得，
解得；
【小问3详解】
易知，
易知复数在复平面内所对应的点坐标为，
又复数在复平面内所对应的点位于第二象限，可得，
解得.
即实数的取值范围为.
17. 在中，内角所对的边分别为的面积为.
（1）求角的大小；
（2）若的平分线交于点，求的长度.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦公式求解.
（2）利用三角形面积求出边，再利用面积建立方程求解.
小问1详解】
在中，由及正弦定理，得，
则，
即，而，于是，而，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，又，的面积为，
则，即，解得，
由，得，，
所以.
18. 某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，.设.
（1）用表示面积，并求的最大值；
（2）为了提高观赏效果，计划在和边上安装护栏，其中边上的护栏需要进行延长设计，因此一共需安装长度为的护栏，若该护栏每米造价为200元，求建造护栏所需费用的最小值.（参考数据：）
【答案】（1）， （2）75600元
【解析】
【分析】（1）在中，由正弦定理求得，利用三角形面积公式表示，利用三角恒等变换化简求得最大值；
（2）在中，由正弦定理可得，，代入，利用三角恒等变换化简，结合三角函数性质求出最小值.
【小问1详解】
在中，，，则，
由正弦定理，，即，
解得，
，
，则，，
所以当，即时，取得最大值，最大值为.
【小问2详解】
在中，由正弦定理，得，
同理可得，
，
，，
因为在上单调递增，所以，
，
所以建造护栏所需费用的最小值为元.
19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为.
（1）已知向量，求；
（2）（i）设向量的夹角为，证明：；
（ii）在中，为的中点，且，若，求.
【答案】（1）
（2）(i)证明见解析，（ii)
【解析】
【分析】（1）由新定义代入即可求解；
（2）（i）根据向量的坐标运算可得，进而可证，（ii）根据中线结合数量积可得，且可知点为的中点，进而求，再由（i）即可得结果.
【小问1详解】
由，，
可得：
【小问2详解】
（i）因为
，
且，，则，
所以.
（ii）因为D为中点，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的中点，则，
可得，
即
则，
，
，
可得，
所以.