贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高一下学期3月统考数学试题（解析版）

这是一份贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高一下学期3月统考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
2. 已知集合，则集合中的元素个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】由，
由，
故，故中的元素个数是4.
故选：C.
3. 若向量，且，则（ ）
A. 28B. C. D.
【答案】D
【解析】由向量，
因为，可得，即，解得.
故选：D.
4. 已知点是线段上靠近点的一个三等分点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，，
设，则，所以，
即，解得.
故选：B.
5. 如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设扇形的圆心角为，
可得扇形的面积为，扇形的面积为，
因为，所以，即，
所以图形的面积与扇形的面积的比值.
故选：D.
6. 已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由夹角公式，的夹角为锐角，即，
即，解得；
当共线时，，解得，
此时满足，此时两向量夹角为，
于是的夹角为锐角时，.
故选：A.
7. 某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（ ）（参考数据：）
A. 4B. 5C. 7D. 8
【答案】B
【解析】依题意可得第年投入的研发经费为万元，
令，即，
所以
，
所以，又，所以的最小值为，即第年投入的研发经费首次超过20万元.
故选：B.
8. 若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（ ）
A. B. 40C. 64D.
【答案】D
【解析】因为，且向量与向量的夹角为，
设，其中，
则
，其中，
因为，当时，
有最大值.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 我们把既有大小又有方向的量叫作向量B. 单位向量是相等向量
C. 零向量与任意向量平行D. 向量的模可以比较大小
【答案】ACD
【解析】对于A，我们把既有大小又有方向的量叫作向量，A正确，
对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误，
对于C， 零向量与任意向量平行，C正确，
对于D，向量的模长是实数，故可以比较大小，D正确.
故选：ACD.
10. 已知向量和均不共线，且，则向量可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】由题意得，不共线.
A∵，∴不共线，A正确.
B.∵，∴，故为共线向量，B错误.
C. ∵，∴不共线，C正确.
D.∵，∴，故为共线向量，D错误.
故选：AC.
11. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 的值域为
D. 在上单调递减
【答案】ABD
【解析】对于A：因为，
因为函数的最小正周期为；
则函数的最小正周期为，
所以的最小正周期为，所以，则，
此时，则
，符合题意，故A正确；
对于B：因为，
则，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C：因为的最小正周期为，所以只需研究函数在上的值域即可，
当，则，此时，
则，所以，所以；
即值域为，故C错误；
对于D：当时，则，
因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________.
【答案】
【解析】∵向量，，
则，，
所以在向量方向上的投影向量为.
13. 已知为正六边形的中心，且，则__________.
【答案】
【解析】由正六边形性质可知，为正三角形，且，
所以，，
所以.
14. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则当时，_______．
【答案】
【解析】令，则可得，
因为函数是定义在R上的偶函数，
所以，
又因为，所以，所以，
所以为函数的周期，
当时，，
由题意可得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量满足.
（1）若向量的夹角为，求的值；
（2）若，求向量的坐标.
解：（1）因为，且向量夹角为，
则，
则.
（2）设，因为，且，
则，解得或，
所以或.
16. 已知函数（，且），且．
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性并证明你的结论；
（3）若不等式恒成立，求t的取值范围．
解：（1）函数中，由，得，而，
所以.
（2）由（1）知，
函数的定义域为R，
，
所以是R上的奇函数.
（3）函数都是R上的增函数，则是R上的增函数，
不等式，
因此，即，则，
解，得或；
解，即，得.
于是，
所以t的取值范围是.
17. 如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上.
（1）若是线段的中点，且，求；
（2）若是线段的中点，且，求梯形的面积；
（3）若，且，求的值.
解：（1）取的三等分点（靠近），连接，
易知四边形为平行四边形，
所以，所以，
在中，，所以，
所以为直角三角形，，所以，
所以，，
在中，，
由余弦定理可得：，所以，
即.
（2）以为原点，所以直线为轴，过且垂直的直线为轴，建立如图所示的坐标系：
设等腰梯形的高为，
则有，
所以，
所以，
解得，
所以.
（3）当时，由（2）可知，
所以，，，
设，则，
所以，
解得，
所以，
所以.
18. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
①若，求的值；
②若对任意的恒成立，求的取值范围.
解：（1）由得，，
∵，∴，.
由得，，
∴，故，
设函数的最小正周期为，
由图象得，，∴，故，
∴.
（2）①由题意得，.
∵，∴，，
∴.
②∵，∴，
∴，故.
∵对任意的恒成立，
∴恒成立，即，
∴，即，
∴的取值范围是.
19. 在平行四边形中，与交于点.
（1）若，求；
（2）已知.
①若为的重心，求；
②若为线段上一动点，求的最小值.
解：（1）依题意，
设，因为，
所以，
因、、三点共线，
设，
因为、不共线，所以，解得，
所以，又，所以.
（2）①因为，
所以，
因为为重心，所以
，
所以
.
②因为，
又为线段上一动点，
设，
所以，
，
所以
，所以当时取得最小值.