2025年中考第一次模拟考试题：数学（上海卷）（解析版）

这是一份2025年中考第一次模拟考试题：数学（上海卷）（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了最简二次根式的特征和应用，解答此题的关键是要明确最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．根据最简二次根式的条件，逐项判断即可．
【解析】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
2．若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题意可得，不等式两边除以a后，不等式变号，由此可得结论．
【解析】解：∵的解集是，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的步骤，属于中考常考题型．
3．已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查了平均数与众数的意义，要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出a，再求这组数据的平均数．
【解析】解：众数是5，已知的三个数都只出现了一次，
就可以知道，
所以平均数．
故选：B．
4．如果抛物线经过第一、二、三象限，那么常数、的符号是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】题目主要考查二次函数的基本性质，包括对称轴、开口方向及所经过象限，理解题意，结合图象，熟练运用二次函数基本性质是解题关键．
由题意得，二次函数经过原点可知，又只经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，对称轴在轴的负半轴，由对称轴公式可得，即可得出选项．
【解析】解：由题意得，二次函数经过原点可知，，
如图所示，函数图象经过第一，二，三象限，
∴抛物线开口向上，故，
∴对称轴在轴的负半轴，
∴，
∴．
故选：A．
5．正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．每条对角线平分一组对角
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质逐项判断，即可得出结论．
【解析】解：A、对角线互相平分是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意；
B、对角线互相垂直是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意；
C、对角线相等是正方形具备而菱形不具备的性质，故此选项符合题意；
D、每条对角线平分一组对角是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意；
故选：C．
6．如图，在矩形中，对角线与BD相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线AD相交、与直线CD相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解．
【解析】解：如图所示，当圆O与AD相切时，过点作，
∵矩形中，对角线与BD相交于点，，．
∴，，，，
∴
∴，
则；

当圆O与CD相切时，过点作于点，如图所示，

则
则
∴与直线AD相交、与直线CD相离，且与内切时，，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）
7．的相反数是 ．
【答案】-
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
【解析】解：的相反数是﹣，
故答案为﹣．
【点睛】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数定义．
8．化简： ．
【答案】
【分析】先利用分式的基本性质进行通分，然后再进行同分母分式相减即可．
【解析】
故答案为：
【点睛】本题主要考查分式的减法，掌握分式的基本性质是解题的关键．
9．如果反比例函数是常数，的图象经过点(-1，3)，那么当时，的值随的值增大而 填“增大”或“减小”
【答案】增大
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，根据反比例函数的性质解答即可．
【解析】解：反比例函数的图象经过点(-1，3)，
，
，
当时，的值随的值增大而增大，
故答案为：增大．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数中，当，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键．
10．方程的根为 ．
【答案】﹣2或﹣7
【分析】把无理方程转化为整式方程即可解决问题．
【解析】两边平方得到：13+2=25，
∴=6，
∴（x+11）（2-x）=36，
解得x=-2或-7，
经检验x=-2或-7都是原方程的解．
故答案为-2或-7
【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是学会把无理方程转化为整式方程．
11．在实数范围内因式分解：
【答案】
【分析】令，则式子可化为，令，求解即可．
【解析】解：令，则式子可化为，
令
则，，
则，
故答案为：
【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．
12．已知点P是线段的黄金分割点，且，则的值= ．
【答案】
【分析】根据黄金分割的定义列可得答案．
【解析】∵点是线段的一个黄金分割点，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割；其比值是；理解黄金分割点的定义是解题的关键．
13．已知线段，，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c的长度，那么a，b，c不能组成三角形的概率是 ．
【答案】
【分析】先根据三角形三边关系确定不能组成三角形的的取值范围，再根据概率公式求解即可．
【解析】解：∵，，
∴线段a，b，c组成三角形时的取值范围，即
∴当或时，线段a，b，c不能组成三角形，
∴在1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c的长度，不能组成三角形的是1，7、8这三个数，
所以，a，b，c不能组成三角形的概率是，
故答案为：
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．用到的知识点为：构成三角形的基本要求为两小边之和大于第三边．
14．董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（.小于5天；.5天；.6天；.7天），则扇形统计图部分所对应的圆心角的度数是 .
【答案】108°/108度
【分析】根据A的户数及所占的比例求出被调查的户数，求出B的户数，然后再用360度乘以B所占的比例即可.
【解析】∵被调查的总户数为(户)，
∴类别户数为(户)，
则扇形统计图部分所对应的圆心角的度数是，
故答案为108°．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键.
15．如图，已知△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，EF＝DE，设，那么向量用向量、表示是 ．
【答案】
【分析】根据三角形中位线定理和已知条件求得EF=BC；然后在△AEF中，利用三角形法则得到；最后易得．
【解析】解：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且EF=BC．
∵，
∴．
又∵EF＝DE，
∴．
∵，
∴．
∵点E是AC的中点，
∴．
故答案是：．
．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
16．如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．

【答案】70
【分析】此题考查解直角三角形的应用，勾股定理，以及平行线的性质：根据正切定理设，勾股定理求出，由平行线的性质得出，求出米，即可得到答案．
【解析】解：如图，

∵斜坡长130米，坡度是，
∴，
设，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（米）．
故答案为：70．
17．如图，和都是等边三角形，点D是的重心，那么 ．
【答案】
【分析】如图，延长交于F，由题意得，，则，由，可得，计算求解即可．
【解析】解：如图，延长交于F，
∵点D是的重心，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了重心，等边三角形的性质，正弦函数，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18．如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ．
【答案】15
【分析】连接，作于，设，，则，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，由勾股定理得出，推出，证明，求出，，得到，证明，得出，求出，结合得到关于的方程，求出的值即可得解．
【解析】解：如图，连接，作于，
四边形为矩形，
，，，
，
设，，
，，
，
由旋转的性质可得：，，，
，，
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，，
，
，，
∴
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
19．计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用绝对值的性质、负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【解析】解：原式
，
．
20．解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解析】解：解不等式得，
解不等式解得，
所以，
把这个不等式组的解集表示在数轴上：
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，ctB＝，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解．
（2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解．
【解析】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，
∵∠BCA＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝EC，
∵ctB＝，
在Rt△BEA中，＝，
设BE＝3x，AE＝2x，
∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，
∴x＝2，
∴BE＝6，EA＝EC＝4，
由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2．
即AB2＝36+16＝52．
∴AB＝．
（2）由（1）知AB＝2，
又∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝，
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴
∵BD＝AD，
∴BF＝FE＝BE＝3．
∴DF＝AE＝2，
∴FC＝FE+EC＝3+4＝7
∴tan∠DCB=．
【点睛】本题考查了特殊角度、余切和正切的定义，以及三角形中位线的知识，是常见题型．
22．某商店销售一种商品．经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110元之间较为合理，每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）存在如图所示的一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求这种商品的每月销售量y（万件）关于销售单价x（元/件）（50≤x≤110）的函数解析式；
（2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的增长率是相同的，求这个增长率．
【答案】（1）y＝﹣x+12（50≤x≤110）；（2）20%
【分析】（1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式
（2）先算出六月、七月的销量再列一元二次方程即可
【解析】解：（1）由题意，设y＝kx+b，
图象过点（70，5）、（90，3），
∴ ，
解得： ，
∴函数解析式为：y＝﹣x +12（50≤x≤110）；
（2）由（1）中解析式知：
六月份的销售量为：y＝﹣ ×95+12＝2.5（万件），
九月份的销售量为：y＝﹣×84+12＝3.6（万件），
设每月销售量的增长率为x，则由题意得：
2.5（8+x）2＝3.6，
解得：x＝20%（负值舍去）
答：每个月的增长率为20%．
【点睛】本题考查一次函数解析式、一元二次方程，熟练掌握一元二次方程增长率问题是关键，本题是中考的常考知识点．
23．如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点．
(1)求证：∠AOM＝∠AON；
(2)如果AEON，AFOM，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂径定理的推论，得出，，再证Rt△AOM≌Rt△AON（HL），即可得出结论；
（2）连接EF，交AO于点P．先证四边形AEOF是平行四边形，再证四边形AEOF是菱形，根据菱形的性质得，．然后证．得，代入即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，OM、ON过圆心，
∴，．
又∵，
∴．
∵在Rt△AOM和Rt△AON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL），
∴．
（2）解：连接EF，交AO于点P．
∵，，
∴四边形AEOF是平行四边形．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴四边形AEOF是菱形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，证四边形AEOF是菱形是解题的关键．
24．如图，二次函数 . 的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段交于点 E，与x轴交于点 F． 连接．

(1)若 ， 求B 点和C 点坐标；
(2)若 求m的值；
(3)若在第一象限内二次函数 的图象上，始终存在一点P，使得 请结合函数的图象，直接写出m的范围．
【答案】(1)，
(2)1
(3)
【分析】（1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标；
（2）由题意得，，，进而可得，推出，连接，由，可得，推出，利用解直角三角形可得，，构建方程，求出即可；
（3）设交轴于点，证明，推出，可得结论．
【解析】（1）当 时，，
令，得，
解得：，，
点在点的左侧，
，
令，得，
；
（2）当时，，
解得：，，
点在点的左侧，且，
，，
当时，，
，
，
，
，
如图1中，连接，
，
，，
，，，
、关于对称轴直线对称，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
经检验，是方程的根，
，
；
（3）如图2，设交轴于点，

当点在第一象限时，点总是在点的左侧，此时，即．
，
，
，
解得：，
又，
同法可得，
，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
25．如图，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点．

(1)如图，当点落在梯形的中位线上时，求的长．
(2)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域．
(3)如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）如图中，延长交的延长线于，证明垂直平分线段，得，得到，由，，推出，即可得解；
（2）如图中，设交于，，，证明得，可得，证明得，可得，继而得到，再根据，即可得出结论；
（3）分三种情形：①如图中，当时；②如图中，当时；③如图中，当时，点与重合．分别求解即可．
【解析】（1）解：如图中，延长交的延长线于，
∵梯形中，，，
∴，
∵是梯形的中位线，
∴，，，
∴，即，
∵将沿着进行翻折，点的对应点为点，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为；

（2）如图2中，过点作于点，设交于，设，，
∴，，
∵在梯形中，，，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点在线段上（不与点重合），，，
∴，
∵将沿着进行翻折，点的对应点为点，
∴，，
∴垂直平分线段，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
，得：，
∴，
∴与之间的函数关系式为；

（3）①如图3中，当时，延长交于，设，
∵在梯形中，，，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵将沿着进行翻折，点的对应点为点，
∴，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴；

②如图中，当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴；

③如图中，当时，点与重合，
∵垂直平分，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，梯形的性质，梯形的中位线，垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．