河北省金科大联考2025届高三3月质量检测数学试卷（无答案）

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一、未知
1．已知复数，则复数z的模为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．小张从超市买了4袋食盐，每袋食盐的标准重量是500克，为了了解这些食盐的重量的情况，称出各袋的重量分别为501克，499克，498克，502克，则这4袋食盐重量的方差为（ ）
A．4B．3.5C．3D．2.5
4．已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．1D．2
5．已知向量，，其中，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的定义域为，，，都有，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知存在实数a，b，使得函数在区间上的值域与函数在区间上的值域相同，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．下列各式中，值是的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列选项中，正确的是（ ）
A．甲、乙两名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知，甲加工的合格品率为80%，乙加工的合格品率为90%．加工出来的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件数分别占40%，60%，从所有零件中任取一个零件，则这个零件是合格品的概率为0.88
B．已知事件A，B满足，，，则
C．若事件A，B满足，且，则A与B相互独立
D．若随机变量，且，，则的最小值为16
11．已知抛物线C：的准线方程为，点P为抛物线C上位于第一象限的点，O为坐标原点，过抛物线C的焦点F作直线OP的平行线与抛物线C交于A，B两点（点A位于第一象限），直线OP和AB分别与抛物线C的准线相交于M，N两点，则（ ）
A．
B．若抛物线C的准线与x轴相交于点T，则M是线段TN的中点
C．
D．若直线PF与抛物线C交于另一点Q，则直线轴
12．已知圆：和圆：相切，则 ．
13．若函数有且仅有两个零点，则正数的取值范围为 ．
14．如图，在四棱台中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，，E是的中点，F是的中点，平面BEF把四棱台分成两部分，这两部分的体积分别为，（其中），则 ．
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
16．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为矩形，平面平面PAB，，M是PB的中点．
(1)证明：平面AMC；
(2)若，，，求平面PCD与平面AMC的夹角的余弦值．
17．新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧《墙头马上》．据统计，有的票友计划只观看《新春京剧演唱会》，余下的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》．每位票友只观看《新春京剧演唱会》，则会员卡积1分；若既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡积2分．假设每位票友观看计划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为0．
(1)观看结束后，从票友中随机抽取3人，记3人会员卡的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)观看结束后，从票友中随机抽取n个人（n为正整数），记这n个人会员卡的合计积分是分的概率为，求数列的前n项和．
18．已知点，，直线MA和MB的斜率的乘积为1，点M的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程；
(2)过点的直线与轨迹C相交于P，Q两点，记直线BP，BQ的斜率分别为，，求的值；
(3)在（2）的条件下，证明：直线AP与BQ的交点T在定直线上．
19．已知函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若，是函数的两个零点，证明：；
(3)当且时，证明：．