河北省金科大联考2025届高三下学期3月质量检测数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效．
3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知复数 ，则复数 z 的模为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数除法结合复数模计算公式可得答案.
【详解】由 ，
有 ．
故选：B
2. 已知集合 ， ，若“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】先求解不等式 ，得到集合 ，再由“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，
分析得到 ，再列出不等式组，求解即可.
【详解】由 解得 ，故 ，
因为“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，
所以 ，所以有 ，解得 ，
故选：A.
3. 小张从超市买了 4 袋食盐，每袋食盐的标准重量是 500 克，为了了解这些食盐的重量的情况，称出各袋
的重量分别为 501 克，499 克，498 克，502 克，则这 4 袋食盐重量的方差为（ ）
A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2.5
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数、方差的计算方法计算出正确答案.
【详解】这 4 袋食盐的重量的平均数为 ，
方差为 ．
故选：D
4. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则数列 的公差为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的定义计算基本量即可.
【详解】设等差数列的首项为 ，公差为 d，由 ， ，有 ，可得
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．
故选：B．
5. 已知向量 ， ，其中 ， ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示及向量模的坐标表示列式，再利用基本不等式求出范围.
【详解】由向量 ，
得 ，当且仅当 时取等号，
而 ，所以 的取值范围为 .
故选：C
6. 已知函数 的定义域为 ， ， ，都有 ，且 ，
则 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 赋 值 法 得 到 ， ， ， ， 从 而
【详解】因为 ， ，所以 ，
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又 ，有 ，
又由 ，有 ，故 ，
．
故选：A．
7. 已知椭圆 C： 与直线 相切，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用判别式等于 0 来判断直线与椭圆相切，从而可得到齐次等式来求离心率.
【详解】联立方程 消去 y 后整理为 ，
有 ，
整理可得 ，由 ，有 ，
可得 ．
故选:B．
8. 已知存在实数 a，b，使得函数 在区间 上的值域与函数
在区间 上的值域相同，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，将问题转化为关于 x 方程 有两个不相等的实数根问题，然后
分离参数，构造函数，求导得到其值域，即可得到结果.
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【详解】由 ，可得函数 单调递增，
又由函数 单调递增，有 ，
即关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，
可化为 ．令 ，
有 ，
可得函数 的增区间为 ，减区间为 ．
又由 ， ，当 时， ，
故若函数 的图象与直线 有两个交点，
则实数 m 的取值范围为 ．
故选：D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列各式中，值是 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由诱导公式即可判断 A，由正弦的降幂公式即可判断 B，由正弦的二倍角公式即可判断 C，由正切
函数的和差角公式即可判断 D.
【详解】对于 A，由 ，故 A 正确；
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对于 B， ，故 B 错误；
对于 C， ，
故 C 正确；
对于 D， ，
故 D 错误；
故选：AC．
10. 下列选项中，正确的是（ ）
A. 甲、乙两名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知，甲加工的合格品率为 80%，乙加工的合格品
率为 90%．加工出来的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件数分别占 40%，60%，从所有零件中任取
一个零件，则这个零件是合格品的概率为 0.88
B 已知事件 A，B 满足 ， ， ，则
C. 若事件 满足 ， 且 ，则 A 与 B 相互独立
D. 若随机变量 ，且 ， ，则 的最小值为 16
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A 选项，根据全概率公式计算即可判断；对于 B 选项，根据公式
，求出 的值即可判断；对于 C 选项，只须判断
是否成立，即可判断 A 与 B 是否相互独立；对于 D 选项，由正态分布得到
，再利用基本不等式，求出 的最小值即可判断.
【详解】对于 A 选项，由全概率公式，这个零件是合格品的概率为
，故 A 选项错误；
对于 B 选项，由 ，
有 ，可得 ，故 B 选项正确；
对于 C 选项，由 ，有 ，
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可得 A 与 B 相互独立，故 C 选项正确；
对于 D 选项，由正态分布可知， ，
所以 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故 D 选项正确．
故选：BCD．
11. 已知抛物线 的准线方程为 ，点 P 为抛物线 上位于第一象限的点，O 为坐
标原点，过抛物线 的焦点 F 作直线 OP 的平行线与抛物线 交于 A，B 两点（点 A 位于第一象限），直线
OP 和 AB 分别与抛物线 的准线相交于 M，N 两点，则（ ）
A.
B. 若抛物线 的准线与 x 轴相交于点 T，则 M 是线段 TN 的中点
C.
D. 若直线 PF 与抛物线 交于另一点 Q，则直线 轴
【答案】ABD
【解析】
【分析】由准线方程求出 ，即可判断 A；设直线 的方程为 ，则直线 的方程为
，令 得到 、 坐标，即可判断 B；联立直线与抛物线方程，求出弦长，即可判断 C；
求出 的坐标，即可判断 D.
【详解】对于 A，由抛物线 C 的准线为 ，有 ，可得 ，故 A 正确；
对于 B，设直线 的方程为 ，由 ，
可得直线 的方程为 ，令 可得点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，又 ，所以 是线段 的中点，故 B 正确；
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对于 C，联立方程 ，可解得点 P 的坐标为 ，有 ．
联立方程 ，消去 y 后整理为 ，
有 ，有 ，
可得 ，故 C 错误；
对于 D，由 ，可得 ， ，可得点 的坐标为 ，
又由点 M 的坐标为 ，可得直线 轴，故 D 正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知圆 ： 和圆 ： 相切，则 ______．
【答案】－1 或 1 或－3 或 3
【解析】
【分析】根据圆的标准方程确定两圆圆心与坐标，结合两圆相切的条件及圆心距与半径关系计算即可.
【详解】由题意可知： ， ， ， ，有 ，
又两圆相切，则有 或 ，可得 或－1 或 1 或 3．
故答案为：－1 或 1 或－3 或 3
13. 若函数 有且仅有两个零点，则正数 的取值范围为______．
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【答案】
【解析】
【分析】利用单调性研究函数的零点，再用正弦函数研究区间内唯一零点，从而可得参数范围.
【详解】当 ，由函数 单调递增，且 ， ，
可得函数在 上有且仅有一个零点；
又由函数 有且仅有两个零点，可知当 时，函数 有且仅有一个零点，
又由 ，则有 ，解得 ．
故答案为： .
14. 如图，在四棱台 中，上、下底面都是正方形， 平面 ABCD，
，E 是 的中点，F 是 的中点，平面 BEF 把四棱台分成两部分，这两部分的体积
分别为 ， （其中 ），则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用台体的体积公式求四棱台的体积，作辅助线，找到平面 BEF 截该四棱台所得截面，计算有关
线段的长度，利用割补法求解.
【详解】连接 AC，BD 相交于点 O，连接 ， 相交于点 ，取 的中点 M，连接 BM 与 交
于点 T，与 的延长线交于点 N，
由平面 平面 ，可知 M 为 和 的交点，
又由 ，可知 ，
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又由 ，可得 ，
又由 ，有 ，可得 ，
不妨设 ， ， ，
可得梯形 的面积为 ，
又由 ， ，
又由 ，可得 ，
可得四边形 的面积为 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
可得 ，
又由几何图形的对称性可知 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）2 或
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（2）
【解析】
【分析】（1）结合正弦定理及余弦定理求解即可；
（2）由正弦定理可得 ，由 ，可得 ，由两角和的余弦公式可求
得 ，再由两角差的余弦公式求解即可.
【小问 1 详解】
由正弦定理及 ，有 ，
又由余弦定理，有 ，
代入 ，有 ，整理为 ，
因式分解为 ，可得 或 ，
可得 的值为 2 或 ；
【小问 2 详解】
由正弦定理及 ，有 ，
又由 ，有 ，
又由 ，有 ，
即 ，
代入 ，有 ，
有 .
16. 如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形，平面 平面 ， ，M 是
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PB 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明 可完成证明；
（2）先由（1）可得 平面 ，然后如图建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向
量，最后由空间向量知识可得答案.
【小问 1 详解】
如图，连接 BD，与 AC 相交于点 N，
因四边形 为矩形，对角线 BD，AC 相交于点 N，则 ，
又因 M 是 PB 的中点，则 ，
因 ， ，则 ，
因 ， 平面 AMC， 平面 AMC，所以 平面 AMC；
【小问 2 详解】
因为平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ABCD，所以
平面 ，
则以 所在的直线分别为 y 轴，z 轴，过点 A，在平面 内作 AB 的垂线为 x
轴，建立如图所示空间直角坐标系
由 ， ， ，可得 ，可得点 P 的坐标为 ，
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各点坐标如下： ， ， ， ， ，
设平面 PCD 的法向量为 ，由 ， ，
有 ，取 ， ， ，
可得平面 PCD 的一个法向量为 ，
设平面 AMC 的法向量为 ，由 ， ，
有 ，取 ， ， ，
可得平面 AMC 的一个法向量为 ，
又由 ， ， ，有 ，
故平面 PCD 与平面 AMC 的夹角的余弦值为 ．
17. 新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自
大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演
唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青
年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧《墙头马上》．据统计，有 的票友计划只观看《新春京剧演唱会》，
余下 的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》．每位票友只观看《新春京剧演唱会》，则会
员卡积 1 分；若既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡积 2 分．假设每位票友观看计
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划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为 0．
（1）观看结束后，从票友中随机抽取 3 人，记 3 人会员卡的合计得分为 X，求 X 的分布列和数学期望；
（2）观看结束后，从票友中随机抽取 n 个人（n 为正整数），记这 n 个人会员卡的合计积分是 分的概
率为 ，求数列 的前 n 项和 ．
【答案】（1）分布列见解析，期望为 4；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由题可得 3 人得分的情况为 3，4，5，6，然后由题意可得分布列及数学期望；
（2）由题可得合计积分是 分时，有 人只看《新春京剧演唱会》，一人既观看《新春京剧演唱会》，
也观看《墙头马上》，据此可得 ，然后由错位相减法可得答案.
【小问 1 详解】
由题可得 X 的值可得为 3，4，5，6，
则 ， ， ，
.
则分布列如下：
3 4 5 6
则 ；
【小问 2 详解】
由题可得合计积分是 分时，有 人只看《新春京剧演唱会》，一人既观看《新春京剧演唱会》，也
观看《墙头马上》，
可得 ， ， ，
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则 .
则
，
两式相减可得： .
则 .
18. 已知点 ， ，直线 MA 和 MB 的斜率的乘积为 1，点 M 的轨迹为 C．
（1）求轨迹 C 的方程；
（2）过点 的直线与轨迹 C 相交于 P，Q 两点，记直线 BP，BQ 的斜率分别为 ， ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，证明：直线 AP 与 BQ 的交点 T 在定直线上．
【答案】（1）
（2）－3 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用两点斜率公式计算即可；
（2）设直线 PQ 的方程为 ，及点坐标，联立直线与双曲线方程利用韦达定理及两点斜率公式化
简计算即可；
（3）利用第二问的结论及条件表达两条直线，联立直线方程计算交点即可.
【小问 1 详解】
设点 M 的坐标为 ，
由直线 MA 和 MB 斜率的乘积为 1，有 ，
可得 ．又由 ，可得轨迹 C 的方程为 ；
【小问 2 详解】
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由（1）知 ，∴直线 PQ 的斜率不为 0，故设直线 PQ 的方程为 ，
点 P，Q 的坐标分别为 ，
联立方程 ，消去 x 后整理为 ，
有 ， ，
又由
，故 ；
【小问 3 详解】
由直线 PA 和 PB 的斜率的乘积为 1，可得直线 PA 的斜率为 ，
可得直线 PA 的方程为 ，
又由 ，有 ，可得直线 BQ 的方程为 ，
将直线 PA 和 BQ 的方程联立消去 y，有 ，
解得 ，可得点 T 的坐标为 ，
所以直线 AP 与 BQ 的交点 T 在定直线 上．
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【点睛】思路点睛：第二问求斜率之积，通法为联立直线与圆锥曲线，利用韦达定理化简求值；第三问，
直线过定点，一个直接的思路是由第二问结论中的斜率关系，利用点斜式表示直线，联立求交点，根据某
一坐标为定值确定定直线.
19. 已知函数 ．
（1）若 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（2）若 是函数 两个零点，证明： ；
（3）当 且 时，证明： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分离参数，构造函数 ，利用导数求其单调性及最值即可；
（2）利用比值换元设 ，将问题转化为证 ，构造函数求导判定函数的单调性
即可证明；
（3）利用第一问得出 ，取 ，结合放缩法得出 ，利
用累加法计算即可证明.
【小问 1 详解】
由 恒成立，有 恒成立，
令 ，有 ，解不等式 可得 ，
可得函数 的增区间为 ，减区间为 ，
可得 的最大值为 ，
若函数 恒成立，可得实数 a 的取值范围为 ；
【小问 2 详解】
不妨设 ，设 ，
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由 ，有 ， ，两式相除，有 ，
代入 ，有 ，有 ，可得 ，
可得 ，
要证 ，只需证 ，只需证 ，
令 ，有 ，
可得函数 单调递增，有 ，故有 ；
【小问 3 详解】
由（1），取 ，有 （当且仅当 时取等号），
取 （其中 ），有 ，有 ，
又由 ，有 ，有 ，
有 ，有 ，有 ，
可得 ，有 ，
有 ，有 ，
当 且 时，可得 ．
【点睛】思路点睛：第二问对于双变量问题的处理策略常用比值换元法转化为单变量问题；第三问，不等
式的证明，结合第一问令 换元，一般情况下还需要巧妙放缩，多积累经验.
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