湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三下学期第九次月考（一模）数学试题

雅礼中学2022届高三模拟考试（一）

数  学

注意事项：

 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第 Ⅰ 卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数（i为虚数单位），则（       ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则的子集个数为（       ）

A． B． C． D．

3．函数图象的大致形状为（       ）

A． B．

C． D．

4．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木周，长得刚好和圆木一样高．已知丈等于尺，则能推算出该葛藤长为（       ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

5．“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（       ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

6．下列对不等关系的判断，正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7．已知双曲线C：（）的右焦点为，圆（c为双曲线的半焦距）与双曲线的一条渐近线交于，两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的方程是（       ）

A． B． C． D．

8．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如果，，都是非零向量．下列判断正确的有（       ）

A．若，，则 B．右，则

C．若，则 D．若，则

10．如图是国家统计局发布的年月至年月的全国居民消费价格涨跌幅，其中同比，环比

则下列说法正确的是（       ）

A．年月至年月全国居民消费价格环比的极差为

B．年月至年月全国居民消费价格同比的中位数为

C．这个月中，年月全国居民消费价格最低

D．年比年全国居民消费价格同比涨跌幅平均值大于

11．已知函数，其中，，且满足①；②；③在区间单调，则下述结论中正确的为（       ）

A．  B．

C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间单调递增

12．记表示与实数x最接近的整数，数列通项公式为（），其前项和为，设，则下列结论正确的是（       ）

A．  B．

C．  D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）

14．年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进行循环赛，循环赛的规则规定：每支队伍都要和其余支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规则决出前名进行半决赛．胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是________．

15．在中，，，将绕旋转至的位置，使得，如图所示，则三棱锥外接球的体积为________．

16．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，，为其左、右焦点．是上的动点，点，若的最大值为．动直线l为此椭圆的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则：

（1）椭圆的离心率为________；

（2）的取值范围为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

 在①，②是，的等比中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

问题：已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，且________。

（1）求；

（2）设数列的前项和为，试比较与的大小，并说明理由．

18．（本小题满分12分）

 如图，四边形是圆柱的轴截面，圆柱的侧面积为，点在圆柱的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点是线段上的动点．

（1）若是的中点，求证：；

（2）若，求与平面所成角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

 已知等腰三角形的角，，所对的边分别为，，，且，．

（1）求利；

（2）若点，分别是线段（含端点）上的动点，且，在运动过程中始终有，求面积的最小值．

20．（本小题满分12分）

 某校对学生关于开展数学研究性学习的态度进行调查，随机抽调了人，他们数学成绩的平均分（单位：分）的频数分布及对开展数学研究性学习赞成人数如表：

（1）根据以上统计数据完成下面的列联表：能否有的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均分为分分界点有关？

（2）若对数学成绩平均分在和的被调查人中各随机选取人进行追踪调查，求在选中的人中有人不赞成的条件下，赞成开展数学研究性学习的人数的分布列及数学期望．

附参考公式与数据：，．

21．（本小题满分12分）

 已知抛物线C：的焦点为，过且垂直于x轴的直线l与抛物线交于，两点，抛物线的准线与x轴的交点为，已知的面积为．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知，，若在线段上，，是抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最大值．

22．（本小题满分12分）

 已知函数．

（1）当时，设，求的最小值；

（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围；

（3）证明：．