2025年河北省沧州市中考数学一模试卷附答案

这是一份2025年河北省沧州市中考数学一模试卷附答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）借助如图量角器上的读数，∠α的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
2．（3分）下列计算结果最小的是（ ）
A．−12−3B．−12+3C．12−3D．12+3
3．（3分）要使3（a2﹣2a）﹣□的化简结果为单项式，则□内的整式可以是（ ）
A．a2B．﹣2aC．﹣3a2D．﹣6a
4．（3分）已知x+2y=52x+y=4是关于x，y的二元一次方程组，则5（x+y）＝（ ）
A．15B．12C．9D．3
5．（3分）用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为22的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ）
A．22B．2+22C．3D．4+22
6．（3分）如图是用12个大小相同的正方体搭成的长方体（正方体用胶水相互紧密粘连），分成两部分，其中一部分有7个正方体，则“？”一部分几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）力F（N）作用于物体，产生的压强p（kPa）与物体受力面积S（m2）之间满足p=FS，在某次实验中，当F一定时，p关于S的函数图象如图所示．若压强p由40kPa增压至60kPa，则物体受力面积S（ ）
A．减小了25m2B．增大了25m2
C．减小了20m2D．增大了20m2
8．（3分）计算（3.75×104）×（2×105）2的结果可以用科学记数法表示为（ ）
A．7.5×109B．7.5×1014C．15×1014D．1.5×1015
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，∠CAB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为（ ）
A．62B．92C．12D．122
10．（3分）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“■”位置的数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．（3分）已知点P为抛物线C：y=12x2−32x−2上一点，在透明胶片上描画出包含点P的抛物线C的一段，向上平移该胶片得到点P′和抛物线C'，如图所示，已知抛物线C′的顶点D的纵坐标为158，且DP＝DP'，则平移得到的点P′的纵坐标为（ ）
A．−12B．158C．238D．358
12．（3分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案，它是由3个正方形和1个直角三角形ABC构成，其中∠ACB＝90°．已知D，E分别为两个较小的正方形边的中点，将它们分别沿CD，CE折叠，若折叠得到的CP，CQ恰好有一条与斜边AB平行，则直角三角形ABC的直角边长可能是（ ）
A．3，4B．5，12C．7，24D．8，15
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）如图，已知点A（3，3），B（3，1），一次函数y＝﹣x+b图象经过线段AB的中点，则b的值为 ．
14．（3分）已知代数式P＝x+1，Q=4xx+1，当x＜﹣1时，则P与Q的大小关系是：P Q（填“＞”“＜”或“＝”）．
15．（3分）如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋子中球的个数都相同，则2x+y的值为 ．
16．（3分）如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F．已知正六边形的边长为23，则劣弧CF的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）如图，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知数轴上表示数2，﹣1的两点对应刻度尺上的读数分别为1cm，2.5cm．
（1）该数轴以多少厘米为1个单位长度？直接画出数轴原点O的位置；
（2）若刻度尺左端N的刻度为ncm且对应数轴上表示数﹣5的点，右端M的刻度为0.5cm，求n的值及MN的长度．
18．（8分）如图，将上层的两个关于n的整式（a，b为常数）相乘得到下层的整式．
（1）求a和b的值；
（2）记M＝2n2+n+b，N＝n﹣1，若n为整数，试判断M﹣3N的结果能否被4整除？
说明理由．
19．（8分）某店在统计某月的销售情况时，对一种商品的日销售量（单位：件）进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
（1）求出图1中a的值及这个月内该商品的平均日销售量；
（2）求该商品的日销售量的中位数和众数；
（3）店长在检查数据时发现，该商品在这个月的实际日销售量均不大于28件，且其中一天的销售量误记为28件了．若将上述错误更正后，日销售量这组数据的中位数不变，众数唯一，则该天的实际销售量为 件．
20．（8分）某机械化农场的麦田需要飞机播种，如图15为一架飞机从飞机场飞往麦地的部分飞行路径的示意图．飞机在某一高度由东向西以150km/h的速度匀速飞行，在空中的点P处测得一点M处的俯角为40°，向西飞行12分钟后到达空中的点Q处，此时站在麦地点N处的工作人员测得飞机的仰角为58°，又经过4分钟播种机刚好飞到点N的正上方点K处．
（1）求播种机的飞行路线距地面的竖直高度；
（2）求点M，N之间的距离．
（结果精确到1km，参考数据：tan40°≈0.84，tan58°≈1.60）
21．（9分）某电影公司随机收集了一些电影的有关数据，经分类整理得到下表，其中好评率是指某类电影中获得好评的部数与该类电影总部数的比值．
（1）从该电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是科幻片中的好评电影的概率；
（2）根据前期调查反馈：
历史类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1；
恐怖类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.45．
现有一部历史类的A电影和一部恐怖类的B电影将同时在某影院上映，A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，排片经理要求将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片，已知最大放映厅每天有7个场次可供排片，设其中A电影排了x场．
①求出最大放映厅每天的票房收入y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
②仅从最大放映厅票房收入的角度考虑，作为排片经理应如何分配A，B两部电影的场次，使得当天的票房收入最高？
22．（9分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图所示，⊙O表示筒车的外轮廓，筒车的涉水宽度AB为3.6m，涉水深度（筒车下方最低点到水面AB的距离）为0.6m．
（1）①在图中，请用无刻度的直尺和圆规作出线段EF，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）；
②求出该筒车的半径长；
（2）筒车工作时，筒车上的每一个盛水简都按顺时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．若⊙O上C处的某盛水筒到水面AB的距离为0.9m，经过35秒后，该盛水筒旋转到点D处，则旋转后该盛水筒的竖直高度下降了多少？（结果保留根号）
23．（11分）如图所示，抛物线C1：y=x2+bx+5与x轴交于M，N两点（点M在N的左侧），交y轴于点A，抛物线C2也经过点A，且其顶点坐标为D（3，﹣4）．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）若C1与C2关于y轴对称，直接写出b的值，并求出点M的坐标；
（3）点B在抛物线C2上，且横坐标为6，过点B的直线l与抛物线C2有且仅有一个公共点．
①求出直线l的解析式；
②平移直线l得到l′，直线l′与抛物线C2交于E，F两点，直线AE，AF与x轴分别交于P，Q两点，设点P，Q的横坐标分别为p，q，直接写出p，q之间的关系式．
24．（12分）四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝8，AB=62，BC＝14．点P由B出发，沿BC向终点C运动，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到PQ，设点P运动的路程为x．
（1）AP的最小值为 ，此时x＝ ；
（2）当点P位于图1位置，且∠BAP＝∠CPQ时，求∠APC的度数；
（3）在点Q随点P运动的过程中，
①若点Q恰好落在边CD上，如图2，求x的值；
②连接AC，若PQ∥AC，如图3，求tan∠BAP的值．
（4）连接DQ，直接写出DQ的最小值．
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.）
1．【答案】C
【解答】解：∠α＝130°﹣60°＝70°．
故答案为：C．
2．【答案】A
【解答】解：根据题意可知，−12−3=−312，−12+3=212，12−3=−212，12+3=312，
即−312＜−212＜212＜312．
故答案为：A．
3．【答案】D
【解答】解：A、3（a2﹣2a）﹣a2＝2a2﹣6a，计算结果不是单项式，不符合题意；
B、3（a2﹣2a）﹣（﹣2a）＝3a2﹣4a，计算结果不是单项式，不符合题意；
C、3（a2﹣2a）﹣（﹣3a2）＝6a2﹣6a，计算结果不是单项式，不符合题意；
D、3（a2﹣2a）﹣（﹣6a）＝3a2，计算结果是单项式，符合题意．
故选：D．
4．【答案】A
【解答】解：x+2y=5①2x+y=4②，
①+②得x+2x+2y+y＝5+4，
3（x+y）＝9，
解得：x+y＝3，
∴原式＝5×3＝15．
故选：A．
5．【答案】B
【解答】解：由条件可知丙纸片的边长为2，丁纸片的宽为2，丁纸片的面积为22，丁纸片的长为22÷2=2，
∴乙纸片的边长为2+2，
∴甲纸片的边长为(2+2)+2=2+22，
故选：B．
6．【答案】C
【解答】解：从物体的左边看，可得如下图形：
．
故选：C．
7．【答案】A
【解答】解：∵F一定，
结合图象可知F＝100×30＝3000（N），即p=3000S，
当压强p为40kPa时，有40=3000S，解得S＝75（m2），
当压强p为60kPa时，有60=3000S，解得S＝50（m2），
∵75﹣50＝25（m2），
故选：A．
8．【答案】D
【解答】解：（3.75×104）×（2×105）2
＝3.75×104×4×1010
＝15×1014
＝1.5×1015．
故选：D．
9．【答案】B
【解答】解：如图所示，设AC与BA′相交于D，
由条件可知∠ABA′＝45°，BA′＝BA＝6，△ABC≌△A′BC′，
∴S△ABC＝S△A′BC′，
∵S四边形AA′C′B＝S△ABC+S阴影部分＝S△A′BC′+S△ABA′，
∴S阴影部分＝S△ABA′，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴∠ADB＝90°，AD=BD=22AB=32，
∴S△ABA′=12AD⋅BA′=12×32×6=92，
∴S阴影=92cm2．
故选：B．
10．【答案】D
【解答】解：标记幻方中的相关数字，由题意可得：
1+m+17＝a+m+x，1+m+17＝b+m+3，
∴a＝18﹣x，b＝15，
由a+1+b＝3+17+x，得：（18﹣x）+1+15＝3+17+x，
解得x＝7，
故选：D．
11．【答案】D
【解答】解：∵抛物线C：y=12x2−32x−2=12(x−32)2−258，
∴抛物线平移前的顶点纵坐标为−258，
∵平移后抛物线C′的顶点D的纵坐标为158，
∴平移的距离为158−(−258)=5，
∵DP＝DP′，
∴平移后抛物线的顶点D在线段PP′的垂直平分线上，
∴平移得到的点P′的纵坐标为158+52=358．
故答案为：D．
12．【答案】A
【解答】解：假设CP∥AB，如图，取CD中点I，过点I作IH⊥CD交CG于H，连接DH，
∴IH是CD的垂直平分线，
∴CH＝DH，
∴∠HCD＝∠HDC，
∵∠GHD＝∠HCD+∠HDC，
∴∠GHD＝2∠HCD，
∵折叠，
∴∠HCD＝∠PCD，
∴∠GCP＝2∠HCD，
∴∠GCP＝∠GHD，
∵CP∥AB，
∴∠GCP＝∠CAB，
∴∠GHD＝∠CAB，
设正方形BCGM的边长为8m，
∵D是GM中点，
∴DG=DM=12GM=4m，
设CH＝HD＝x，
在Rt△DHG中，DG＝4m，DH＝x，GH＝CG﹣CH＝8﹣x，
∴（4m）2+（8m﹣x）2＝x2，
16m2+64m2+x2﹣16mx＝x2，
16mx＝80m2，
∴x＝5m，
∴DH＝5m，GH＝8m﹣x＝3m，
在△CAB和△GHD中，
∠CAB=∠GHD∠ACB=∠HGD=90°，
∴△CAB∽△GHD，
∴CAGH=CBGD，
∴CACB=GHGD=3m4m=34，
∴Rt△ABC的两直角边的比值是34，满足比值是34，
其余选项均不满足比值是34，
故答案为：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．【答案】5．
【解答】解：∵A（3，3），B（3，1），
∴线段AB的中点坐标为（3，2），
∵一次函数y＝﹣x+b图象经过线段AB的中点，
∴2＝﹣3+b，
∴b＝5，
故答案为：5．
14．【答案】＜．
【解答】解：∵P＝x+1，Q=4xx+1，
∴P﹣Q＝x+1−4xx+1=(x+1)2−4xx+1=x2+2x+1−4xx+1=x2−2x+1x+1=(x−1)2x+1．
∵x＜﹣1，
∴（x﹣1）2＞0，x+1＜0，
∴(x−1)2x+1＜0，
∴P﹣Q＜0，
∴P＜Q．
故答案为：＜．
15．【答案】128．
【解答】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数：
甲袋：（29﹣2x+2y）个，乙袋：29+2x﹣（2x+2y）＝29﹣2y（个），丙袋：5+（2x+2y）﹣2y＝5+2x（个），
∵一共有29+29+5＝63（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中球数为：63÷3＝21（个），
∴5+2x＝21，29﹣2y＝21，
∴2x＝16，2y＝8，
∴2x+y＝2x•2y＝16×8＝128．
故答案为：128．
16．【答案】83π．
【解答】解：连接OF，OC，CF，取CF的中点P，连接PE，OP，
∵六边形ABCDEF是正六边形，边长为23，
∴点P是正六边形ABCDEF的中心，EF=23，
∴∠FPE=360°6=60°，PE＝PF，
∴△PEF为等边三角形，
∴∠PFE＝60°，PE=PF=EF=23，
∴∠OFE＝∠OCD＝90°，
∴∠OFP＝∠OFE﹣∠PFE＝90°﹣60°＝30°，
∵OF＝OC，PF＝PC，
∴∠OFP＝∠OCP＝30°，
∴OF=PFcs∠OFP=2332=4，∠COF＝180°﹣2∠OFC＝180°﹣2×30°＝120°，
则劣弧CF的长为120×2×4π360=83π．
故答案为：83π．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）0.5（cm），见解析；
（2）n＝4.5，MN＝4（cm）．
【解答】解：（1）该数轴的单位长度为2.5−12−(−1)=1.53=0.5(cm)，
原点O的位置如图所示，
，
答：该数轴为1个单位长度；
（2）n−10.5=2−(−5)，
解得n＝4.5，
∴MN＝4.5﹣0.5＝4（cm）．
答：n的值是4.5，MN的长度是4cm．
18．【答案】（1）a＝3，b＝﹣3；
（2）能被4整除，理由见解析．
【解答】解：（1）由题意，由条件可知2n2+（a﹣2）n﹣a＝2n2+n+b，
∴a﹣2＝1，﹣a＝b，
解得：a＝3，b＝﹣3．
（2）能被4整除，理由如下，
∵a＝3，b＝﹣3，
∴M＝2n2+n﹣3，N＝n﹣1，
∴M﹣3N
＝2n2+n﹣3﹣3（n﹣1）
＝2n2﹣2n
＝2n（n﹣1），
∵n为整数，
∴n，（n﹣1）是两个连续的整数，其中必有一个为偶数，
∴2n（n﹣1）能被4整除，即M﹣3N的结果能被4整除．
19．【答案】（1）a＝10，这个月内该商品的平均日销售量为25件；
（2）中位数为26件，众数为24件；
（3）27．
【解答】解：（1）∵日销售量为26件的天数是9天，占总天数的30%，
∴总天数为9÷30%＝30天，
∴a＝30﹣4﹣9﹣7＝10，
平均日销售量＝（20×4+24×10+26×9+28×7）÷30＝（80+240+234+196）÷30＝25（件），
答：图1中a的值是10，及这个月内该商品的平均日销售25件；
（2）将这组数据从小到大排列：20出现4次，24出现10次，26出现9次，28出现7次．
总共有30个数据，第15，16个数据都是26，所以中位数是26；
24出现的次数最多，所以众数是24．
答：中位数为26，众数为24；
（3）∵更正后中位数不变，还是26，且众数唯一，
∴当天的销售量不是26件，
∵日销售量这组数据中位数不变，
∴当天的销售量不低于26件，
∵该时段的实际日销售量均不大于28件，
∴若将28件中的一件更正，要使众数唯一且中位数不变，只能把28件改为27件，这样24出现10次，26出现9次，27出现1+7＝8次，20出现4次，满足条件，
答：该天的实际销售量为27件．
故答案为：27．
20．【答案】（1）播种机的飞行路线距地面的竖直高度为16km；
（2）点M，N之间的距离为21km．
【解答】解：（1）由题意得，QK=150×460=10(km)．
∵PK∥MN，
∴∠KQN＝∠QNM＝58°．
∴KN＝KQtan58°≈10×1.60＝16（km）；
（2）过P作PA⊥MN于A，过Q作QB⊥MN于B，则四边形ABQP，NBQK是矩形．
∴NB＝KQ＝10km，AB＝QP，QB＝PA＝KN＝16km．
在Rt△AMP中，tan∠AMP=PAAM，
∴AM=PAtan40°≈160.84≈19(km)．
∵QP=150×1260=30(km)，
∴BM＝AB﹣AM＝30﹣19＝11（km）．
∴MN＝NB+BM＝10+11＝21（km）．
答：点M，N之间的距离为21km．
21．【答案】（1）140；
（2）①y＝1500x+210000；②排片经理应排A电影6场，B电影1场，可使得当天的票房收入最高．
【解答】解：（1）由题意，140+50+300+200+800+510＝2000（部），
共有2000部电影，其中科幻类中的好评电影的数量为200×0.25＝50（部），
∴从该电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是科幻片中的好评电影的概率为502000=140；
（2）①A电影的上座率为0.4×1.5+0.1＝0.7，B电影的上座率为0.2×1.5+0.45＝0.75，
最大放映厅每天有7个场次可供排片，其中A电影排了x场，则B电影排了（7﹣x）场，
∴y＝1000×0.7×45x+1000×0.75×40（7﹣x）＝1500x+210000，
∴最大放映厅每天的票房收入y与x的函数关系式为y＝1500x+210000；
②∵最大放映厅每天有7个场次可供排片，两部电影每天都要有排片，
∴0＜x＜7，且x为正整数，
∵y＝1500x+210000，1500＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝6时，y有最大值．
∴排片经理应排A电影6场，B电影1场，可使得当天的票房收入最高．
22．【答案】（1）①见解析；②该筒车的半径长为3m；
（2）旋转后该盛水筒的竖直高度下降了32−32m．
【解答】解：（1）①线段EF如图所示，
②由①知EF⊥AB，且点O在直线EF上，如上图，连接OA，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝1.8
设该筒车的半径长为r，
∴OE＝r﹣0.6，
∵OE2+AE2＝OA2，
∴（r﹣0.6）2+1.82＝r2，
解得r＝3，
即该筒车的半径长为3m；
（2）过C作CH⊥OF于H，过D作DE⊥OF于E，
∴∠COD＝360°×35120=105°，
∵C处到水面AB的距离为0.9m，即EH＝0.9，
∴OH＝OF﹣EH﹣EF＝3﹣0.9﹣0.6＝1.5，
在Rt△COH中，cs∠COH=OHOC=12，
∴∠COH＝60°，
∴∠DOG＝∠COD﹣∠COH＝105°﹣60°＝45°，
∴OG=OD⋅cs∠DOG=3×22=322，
∴HG＝OG﹣OH=32−32，
即旋转后该盛水筒的竖直高度下降了32−32m．
23．【答案】（1）y＝（x﹣3）2﹣4；
（2）b＝6，点M的坐标为（﹣5，0）；
（3）①y＝6x﹣31；②p+q＝0．
【解答】解：（1）由题意，点A的坐标为（0，5），抛物线C2的顶点坐标为（3，﹣4），
设抛物线C2的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣4，
将A（0，5）的坐标代入，
得5＝a（0﹣3）2﹣4，
解得a＝1，
∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4；
（2）∵C1与C2关于y轴对称，抛物线C2的对称轴为直线x＝3，
∴抛物线C1的对称轴为直线x＝﹣3，
∴−b2×1=−3，
∴b＝6；
∴抛物线C1：y=x2+6x+5，
当y＝0时，0＝x2+6x+5，
解得x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∵点M为抛物线与x轴的左交点，
∴点M的坐标为（﹣5，0）；
（3）①点B在抛物线C2上，且横坐标为6，
∴当x＝6时，y＝（6﹣3）2﹣4＝5，
即B（6，5），
设直线l的解析式为y＝kx+g，
将B（6，5）代入，得5＝6k+g，
即g＝5﹣6k，
∴直线l的解析式为y＝kx﹣6k+5，
∵过点B的直线l与抛物线C2有且仅有一个公共点，
∴kx﹣6k+5＝（x﹣3）2﹣4，
即x2﹣（k+6）x+6k＝0，
当Δ＝[﹣（k+6）]2﹣4×1×6k＝0，
解得k＝6，
∴直线l的解析式为y＝6x﹣31；
②设直线l′的解析式为y＝6x+n，
由题意得（x﹣3）2﹣4＝6x+n，
整理得，x2﹣12x+5﹣n＝0，
∵直线l′与抛物线C2交于E，F两点，
设E(xe，xe2−6xe+5)，F(xf，xf2−6xf+5)，
∴xe+xf＝12，
设直线AE为y＝k1x+b1，
代入（0，5）和(xe，xe2−6xe+5)，
得b1=5k1xe+b1=xe2−6xe+5，
∴k1=xe−6b1=5，
∴y＝（xe﹣6）x+5，
同理可求直线AF为y＝（xf﹣6）x+5，
令y＝0，
∴0＝（xe﹣6）x+5，0＝（xf﹣6）x+5，
∴x=56−xe，x=56−xf，
∵直线AE，AF与x轴分别交于P，Q两点，点P，Q的横坐标分别为p，q，
∴p=56−xe，q=56−xf，
∴p+q=56−xe+56−xf=5(6−xf)+5(6−xe)(6−xe)(6−xf)=30−5xf+30−5xe(6−xe)(6−xf)=60−5(xe+xf)(6−xe)(6−xf)=0，
即p+q＝0．
24．【答案】（1）6；6；
（2）67.5°；
（3）①x的值为8；②tan∠BAP=17
（4）22．
【解答】解：（1）根据“垂线段最短”得：当AP⊥BC时，AP取最小值，如图1所示：
∵AD∥BC，∠C＝90°，AD＝8，
∴∠D＝180°﹣∠C＝90°，
当AP⊥BC时，
∴∠APC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ADCP为矩形，
∴PC＝AD＝8，
∵AB=62，BC＝14，
∴x＝BP＝BC﹣PC＝14﹣8＝6，
∴在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP=AB2−BP2=(62)2−62=6，
∴AP的最小值是6．
故答案为：6；6；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，作QF⊥BC于点F，如图2所示：
由（1）可知，AE＝BE＝6，
∴∠B＝∠BAE＝45°，
由旋转的性质得，∠APQ＝90°，
∴∠APE+∠QPE＝90°，∠APE+∠PAE＝90°，
∴∠PAE＝∠QPE，
∵∠BAP＝∠CPQ，
∴∠BAP＝∠PAE=12∠BAE＝22.5°，
∴∠APC＝∠B+∠BAP＝45°+22.5°＝67.5°；
（3）①当点Q恰好落在CD边上时，过点A作AH⊥BC于点H，如图3所示：
∴∠AHP＝∠C＝90°，
∴∠HAP+∠APH＝90°，
由旋转的性质得：AP＝PQ，∠APQ＝90°，
∴∠APH+∠CPQ＝90°，
∴∠HAP＝∠CPQ，
在△HAP和△∠CPQ中，
∠AHP=∠C=90°∠HAP=∠CPQAP=PQ，
∴△HAP和△∠CPQ（AAS），
∴AH＝PC，
由（1）可知，AH＝6，
∴AH＝PC＝6，
∴BP＝BC﹣PC＝14﹣6＝8，
∴点P运动的路程x＝BP＝8，
即x的值为8；
②过点P作PK⊥AB于点K，过点A作AN⊥BC于点N，过点Q作QM⊥BC于点M，如图4所示，
∴∠ANP＝∠PMQ＝90°，
∴∠PAN+∠APN＝90°，
由旋转的性质得：AP＝PQ，∠APQ＝90°，
∴∠APN+∠QPM＝90°，
∴∠PAN＝∠QPM，
在△PAN和△QPM中，
∠ANP=∠PMQ=90°∠PAN=∠QPMAP=PQ，
∴△PAN≌△QPM（AAS），
∴AN＝PM，PN＝QM，
由（1）可知：AN＝BN＝6，四边形ANCD是矩形，
∴AN＝PM＝6，CN＝AD＝8，
∵此时点P运动的路程BP＝x，
∴PN＝BN﹣BP＝6﹣x，
∴PN＝QM＝6﹣x，
∵AN⊥BC，QM⊥BC，
∴∠ANC＝∠QMP＝90°，
∵PQ∥AC，
∴∠ACN＝∠QPM，
∴△ACN∽△QPM，
∴ANQM=CNPM，
∴66−x=86，
解得：x=32，
∴BP=x=32，
在Rt△ABN中，BN＝AN＝6，
∠B＝45°，
∵PK⊥AB，
∴△BPK是等腰直角三角形，即BK＝PK，
由勾股定理得：BP=BL2+PK2=2BK，
∴BK＝PK=22BP=22×32=324，
∴AK＝AB﹣BK=62−324=2124，
在Rt△APK中，tan∠BAP=PKAK=3242124=17；
（4）当PQ在BC的上方时，DQ才有最小值，过点A作AR⊥BC于点R，过点Q作QL⊥CD于点L，QS⊥BC交BC的延长线于点S，如图5所示：
设PR＝a，
由（1）可知：AR＝BR＝6，
同（3）可证明：△APR≌PQS（AAS），
∴AR＝PS＝6，PR＝QS＝a，
∴PC＝BC﹣BR﹣PR＝14﹣6﹣a＝8﹣a，
∴CS＝PS﹣PC＝6﹣（8﹣a）＝a﹣2，
∵QL⊥CD，QS⊥BC，∠BCD＝90°，
∴∠QLC＝∠DCS＝∠S＝90°，
∴四边形DLCS是矩形，
∴CL＝QS＝a，QL＝CS＝a﹣2，
∴DL＝CD﹣CL＝6﹣a，
在Rt△DQL中，由勾股定理得：DQ2＝DL2+QL2＝（6﹣a）2+（a﹣2）2＝2（a﹣4）2+8，
∴当a＝4时，DQ2为最小，最小值为8，
∴DQ的最小值为8=22．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/25 15:38:38；用户：陈庄镇中学；邮箱：[email protected]；学号：62602464电影类型
历史类
恐怖类
喜剧类
科幻类
情感类
剧情类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
D
A
B
C
A
D
B
D
D
题号
12
答案
A
a
3
1
m
17
b
x