湖北省襄阳市鄂北六校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（Word版附解析）

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试卷满分：150分 考试用时：120分钟
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号﹑座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. 5B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量坐标运算，结合相等向量求解即得.
【详解】向量，，由，得，
所以.
故选：B
2. 已知点落在角的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求解余弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】因为点落在角的终边上，
所以，
所以
故选：C
3. 函数（，，）的部分图象如图示，则图象解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的图象，结合正弦函数的性质，即可求解.
【详解】由函数的图象，可得且，所以，则，
又由，即，可得，
所以，又因为，所以，故.
故选：D.
4. 若两个单位向量，的夹角为，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律求解即得.
【详解】由两个单位向量，的夹角为，得，
所以.
故选：B
5. 化简得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，利用两角差的正弦公式、二倍角公式及诱导公式计算可得.
【详解】
.
故选：C
6. 我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出扇形的面积，再求出，相减得到答案.
【详解】由题意得，劣弧，
故扇形的面积为，
设圆心角为，则，
故，
故圆材埋在墙壁内部阴影部分截面面积为.
故选：A
7. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，根据条件得到，利用数量积的几何意义，即可求出结果.
【详解】因为，
如图，取中点，又，所以，即，
结合平面向量数量积的几何意义，又，得到，
故选：B.
8. 如图，在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，过点A作与垂直的单位向量，将与向量表达式两边进行数量积的运算，即，化简后得到的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量数量积的运算律和定义可化简等式得到，由此可得结论.
【详解】因为向量是单位向量，且，所以， ，
所以
，
，
所以，即.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B. 已知两个非零向量，，若，则与同向
C. 在中，若，，则为等边三角形
D. 若向量，满足，则存在唯一实数，使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量共线知识可以判断ABD，利用向量数量积运算可以判断C.
【详解】对A，因为，为平面内两个不共线的向量，设时，，
此时无解，所以与不共线，即可作为基底，故A正确；
对B，因为两个非零向量，， ，所以与同向，故B正确；
对C，由，可得，
再由，可得，
综上为等边三角形，故C正确；
对D，向量，满足，当不等于零向量时，不存在实数，使得，故D错误；
故选：ABC．
10. 把函数（）的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在区间上单调递增
C. 当时，的值域为
D. 若在区间上至少存在六个零点，则实数a的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意化简得，根据最小正周期计算公式可判断A；根据三角函数性质计算可判断B；由，得，根据三角函数性质计算即可判断C；由得或，所以在区间上的解从小到大依次为：，根据题意建立不等式计算即可判断D.
【详解】
，
因为图象关于轴对称，所以，解得，
因为，解得，即，
对A，最小正周期，故A错误；
对B，令，解得，
所以函数得单调递增区间为
当时，单调递增区间为，
所以函数在区间上单调递增，故B正确；
对C，因为，所以，
当或，即或时，函数有最小值为，
当，即时，函数有最大值为，
所以的值域为，故C正确；
对D，因为，有，即，解得或，
故在区间上的解从小到大依次为：，
要使在区间上至少存在六个零点，则，故D正确.
故选：BCD.
11. 中,,点在线段上,下列结论正确的是（）
A. 若是中线,则B. 若是高,则
C. 若是角平分线,则D. 若,则是线段的三等分点
【答案】AC
【解析】
【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题.
【详解】
A选项：由余弦定理知：
因为是中线，则
则
则
B选项：
则
则故B错误.
C选项：
即
则则故C正确.
D选项：在中
在中
即若是线段的三等分点，则
但不是方程的解，则选项D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为____________（用坐标表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解.
【详解】由向量，，可得，且，则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
13. 已知，则____________．
【答案】
【解析】
分析】根据题意，求得，结合，即可求解.
【详解】因为，可得，所以，
则
故答案为：.
14. 定义：．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，且，则边c的最小值为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】先由新定义将原式化简，并求得，再代入余弦定理公式表示c，利用基本不等式求得其最小值.
【详解】由题可知，
化简得，即，
C为三角形内角，解得，
由余弦定理得，
所以，时等号成立，所以边c的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若，求值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量坐标运算结合向量的夹角公式计算即可；
（2）应用向量坐标垂直公式运算可求参数.
【小问1详解】
，
∴，，
【小问2详解】
∴
∴
16. 已知，，且，，，求：
（1）值；
（2）的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）计算出，利用正弦和角公式求出答案；
（2）利用余弦的两角差公式可得，结合得到答案.
【小问1详解】
∵，
∴，
，
∴
；
【小问2详解】
由（1）可得
∴
，
又∵，
∴.
17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，D是线段AC上的一点，，，求边c．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得，得到角A的大小；
（2）设（），则，根据二倍角公式和求出的余弦值和正弦值，故，由正弦定理求出答案.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理可得，
即，
所以，
因为，所以
【小问2详解】
设（），
则，
所以，
解得，故，
所以，
由正弦定理，，即，
所以
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.
（1）令，，用，表示；
（2）证明：；
（3）若，，，求∠MPN的余弦值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由条件可得，结合可解；
（2）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得；
（3）与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小.
【小问1详解】
由题可知是的重心，且，
所以.
小问2详解】
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得
.
【小问3详解】
因为，，，
所以，
所以，即的余弦值为.
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若且，求的值；
（2）设（），试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量﹔
（3）已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）先根据相伴函数定义再结合两角和差公式计算即可；
（2）结合相伴函数定义及反向定义求解；
（3）先设点P的坐标，再应用函数求解计算可解.
【小问1详解】
由题意知，向量的相伴函数为
由题意，且，，，
故；
【小问2详解】
因为
故函数的相伴特征向量，
则与反向的单位向量为
【小问3详解】
因为，
其相伴特征向量，
故，所以，
则，
设点，
又，，
所以，，
若，则，
即，，
因为，，
故，
又，故当且仅当时，成立
故在的图象上存在一点，使得