2024-2025学年山西省吕梁市高二上学期9月月考数学质量检测试卷合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年山西省吕梁市高二上学期9月月考数学质量检测试卷合集2套（附解析），共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量若则（ ）
A．−2B．1C．D．1
2．已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
3．若平面的法向量，直线l的方向向量，则（ ）
A．B．C．D．或
4．已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则函数的最小值是（ ）
A．2B．1C．D．
5．在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ）
A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．若，，则
D．若所在直线两两共面，则共面
10．已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（ ）
A．若，则点在棱上B．若，则点在线段上
C．若，为棱的中点D．若，则点在线段上
11．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）

A．，，，四点共面
B．与所成角的大小为
C．在线段上存在点，使得平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
三、填空（本大题共3小题）
12．点1,2,3 关于yOz 平面的对称点坐标为______.
13．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则 .

14．已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值.
16．如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.

(1)用，，表示，；
(2)求异面直线，所成角的余弦值.
17．如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD，，M，N分别是AD，CQ的中点．
(1)证明：；
(2)若，直线MN与平面QBC所成角的正弦值为，求QM的长度．
18．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，AB的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线CE与平面所成角的正弦值.
19．如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值的最小值.
参考答案
1．【答案】D
【分析】由空间向量垂直的坐标公式求解即可
【详解】因为，
所以，即，
解得．
故选D．
2．【答案】C
【分析】根据模长的坐标计算公式直接计算.
【详解】由题意，则，所以，
所以.
故选C.
3．【答案】D
【分析】根据法向量与方向向量数量积的运算结果，结合线面关系进行判断即可.
【详解】因为，所以或.
故选D
4．【答案】D
【分析】根据点共面可得系数和为1，即可结合二次函数的性质求解最值.
【详解】因为，，，四点共面，所以存在，使得，
故,整理得
，又，
所以，所以，
所以，当时，函数取最小值，且最小值为.
故选D.
5．【答案】A
【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】

由题意可得，.
故选A.
6．【答案】C
【分析】根据待定系数法利用向量相等，列方程组求解.
【详解】在基底下的坐标为，得，
设向量在基底下的坐标是，
则，
所以解得.
故选C.
7．【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离.
【详解】如图所示，

以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，
则，，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，
又，
所以点到平面的距离为.
故选D.
8．【答案】C
【分析】作出辅助线，得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出点到直线距离，求出最小值.
【详解】取的中点为，连接，，，因为，为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以，
又底面是矩形，所以，
以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
由，，，得，
所以，，，
则，设，
则，，
，
，
因此点到直线的距离
，
故当时，取最小值，
即线段上的动点到直线的距离的最小值为．
故选C．
9．【答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理逐一判断.
【详解】由空间向量基本定理知：仅当不共面时，才能作为基底，即，A错误；
若是空间的一个基底，则不共面，
若共面，则，，
显然无解，即不共面，故也是空间的一个基底，B正确；
若，，在空间中不一定平行，C错误；
若所在直线两两共面，如四面体中共顶点的侧棱所在直线，即不一定共面，D错误.
故选ACD.
10．【答案】ABD
【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可.
【详解】作出三棱柱，如图，
对于A，当时，，则，
所以点在棱上，故A正确；
对于B，当时，，
所以点在线段上，故B正确；
对于C，当时，由B知，
所以为棱的中点，故C错误；
对于D，当时，，
所以，则，即，
所以点在线段上，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项.
【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，
设，

则，
所以，解得，
故，即，，，四点共面，故A正确；
因为，，
所以，
所以与所成角的大小为，故B错误；
假设在线段上存在点，符合题意，
设（），则，
若平面，则，,
因为，，
所以，此方程组无解，
所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；
因为，所以，
又平面，平面，所以平面，
故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，
又的面积是定值，
所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确；
故选ABD.
12．【答案】−1,2,3
【详解】求一个点关于yOz 平面的对称点坐标，就是将x 轴的分量取相反数，而y 轴和z 轴的分量不变.
故点1,2,3 关于yOz 平面的对称点坐标是−1,2,3 .
13．【答案】
【分析】根据题意，得到，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】因为二面角的大小为，所以与的夹角为，
又因为，
所以，所以.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据是锐角，得到，求出的取值范围，再由求出的取值范围.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
设，，则，则，
所以，，
显然与不可能同向，
因为是锐角，所以，
则，解得或，
又，所以，又，
所以，即线段长度的取值范围为.
故答案为：.
15．【答案】（1）7；（2）或.
【分析】（1）根据题意，由，列出方程求得的值，求得，得到，利用模的公式，即可求解；
（2）由，求得，又由，求得，分类讨论，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】（1）由，则存在实数，使，即，
所以，解得，所以.
则，所以.
（2）由，可得，即，解得，
又由，可得，解得，
当时，，，
所以.
当时，，，
所以.
16．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；
（2）利用转化法求向量数量积及夹角.
【详解】（1）因为点，分别在棱，上，且，，
所以，，
所以，
；
（2）因为，，，，
所以，，
所以，
，
，
所以，
即异面直线，所成角的余弦值为.
17．【答案】(1)证明见详解
(2)或
【详解】（1）M是AD中点，，，
平面平面ABCD，平面平面，平面QAD，
平面ABCD，又平面ABCD，．
（2）取BC中点F，连接MF，
M，F分别为AD，BC中点，，
，又，；
以F为坐标原点，，正方向为x，y轴正方向，过F作z轴，可建立如图所示空间直角坐标系.
设，
，，
，，，，，
，，；
设平面QBC的法向量，则，
令，解得，，；
设直线MN与平面QBC所成角为，
，
解得或，故QM的长为或.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）

解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
19．【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）利用线面垂直证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设，，利用坐标法求面面夹角余弦值，再利用换元法结合二次函数最值求法可得面面夹角余弦值的最小值.
【详解】（1）因为是等边三角形，点是棱的中点，所以，
平面，平面，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）在平面中，过点作，
，，
又平面，平面，
，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，

是等边三角形，，，
，，，
，
，
设（），所以，
，
设平面的法向量为，，，
因为，
令，得，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，
因为，
令，得，
所以平面的一个法向量为.
设平面与平面所成角为，
所以（），
设，则，所以，
所以，
所以当，即时，取到最小值.
2024-2025学年山西省吕梁市高二上学期9月月考数学质量检测试卷（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
2．某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人参加比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．现用计算机产生1~5之间的整数随机数，当出现1或2时，表示此局比赛甲获胜，当出现3，4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下：
534 123 512 114 125 334 432 332 314 152
423 443 423 344 541 453 525 151 354 345
根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为（ ）
A．0.24B．0.3C．0.7D．0.76
3．如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（ ）
A．众数