2024-2025学年山西省晋中市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年山西省晋中市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析），共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．给出下列命题：
①零向量的方向是任意的；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量，满足，则；
④空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）．
A．B．C．D．
2．如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（ ）

A．B．
C．D．
3．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）．
A．若，，则B．
C．若，则，的夹角是钝角D．
4．设，向量，，，且，，则（ ）．
A．B．C．5D．6
5．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线l的一个法向量为，则直线l的点法式方程为；，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）．
A．B．
C．D．
6．已知圆锥的母线长为2，表面积为，O为底面圆心，为底面圆直径，C为底面圆周上一点，，M为中点，则的面积为（ ）．
A．B．C．D．
7．如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
8．在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（ ）．
A．B．C．D．
10．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；
（2）过点，且为法向量的平面的方程为．
现已知平面，，，，则（ ）．
A．B．C．D．
11．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．两条异面直线和所成的角为
B．直线与平面所成的角等于
C．点到面的距离为
D．四面体的体积是
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，四棱柱为正方体．
①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为1,1,1．
则上述结论正确的是 .（填序号）
13．已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为 ．
14．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．

(1)求的值；
(2)证明：C，E，F，G四点共面．
16．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，
(1)求线段的长；
(2)求证：．
17．已知空间中三点，，．
(1)若向量与平行，且，求的坐标；
(2)求向量在向量上的投影向量；
(3)求以，为邻边的平行四边形的面积．
18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
19．将菱形绕直线旋转到的位置，使得二面角的大小为，连接，得到几何体.已知分别为上的动点且.
(1)证明：平面；
(2)求的长；
(3)当的长度最小时，求直线到平面的距离.
参考答案
1．【答案】D
【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确；
方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误；
若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误；
空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误；
所以正确的命题只有个；
故选：D.
2．【答案】A
【详解】由题意可得
.
故选：A.
3．【答案】B
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，由数量积的运算律可知，故B正确；
对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误；
对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误；
故选：B.
4．【答案】D
【详解】因为，，，
所以，所以，
因为，，，所以，所以，
所以，
所以.
故选：D.
5．【答案】C
【详解】由题意可得，
化简可得，
故选：C.
6．【答案】A
【详解】
设，
由题意可得，
即，解得或（舍去），
连接，
因为M为中点，所以，
过作于，连接，则，
在中，，
即，解得，
又在中，，
所以，
所以，
所以的面积为，
故选：A.
7．【答案】C
【详解】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴，
建立空间直角坐标系，，，，，，
故，，
，设平面的法向量为m=x,y,z，
则，
令得，，故，
因为，故平面，
为平面上的动点，直线与直线的夹角为30°，
平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆，
即为点的轨迹，其中，
由对称性可知，，故半径，
故点的轨迹长度为.
故选：C.
8．【答案】C
【详解】平面，平面，，
又，，平面，平面，
又平面，；
设，，，
，，，
，即，
关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为，
，解得：，，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
轴平面，平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，
由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.
故选：C.
9．【答案】AD
【详解】设平面的法向量为，
因为平面与平面平行，是平面的一个法向量，
所以，且，
所以平面的法向量可能为，，
故选：AD.
10．【答案】AC
【详解】平面的法向量为，
对于，则，即：，
故经过点，方向向量为，则，即，
故，即A正确，D错误；
对于，即，故经过点，方向向量为，
因点满足平面，即与有公共点，故B错误；
对于，可知经过点，方向向量为，
因，可得，即或，
但点不满足平面，即，故，故C正确.
故选：AC.
11．【答案】BCD
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
对A：、、、，
则、，故，
故，即异面直线和所成的角为，故A错误；
对B：，由轴平面，故平面法向量可为，
则，故直线与平面所成的角为，故B正确；
对C：，，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故，故C正确；
对D：易得四面体为正四面体，
则，故D正确.
故选：BCD.
12．【答案】①②③
【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知，
于是，,故① ，② 正确；
因平面，而，
故 可作为平面的法向量，即③正确；
在正方体中，因平面,平面，
则，易得，又，故平面，
而，即可作为平面的法向量，故④错误.
故答案为：①②③.
13．【答案】
【详解】因为，，共面，
所以，
即，
即，解得，
所以，
所以，
所以最小值为，
故答案为：.
14．【答案】
【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，
设 则，
当时的最小值是，

取 则

又因为是任意值，所以的最小值是.
取 则

又因为是任意值，所以的最小值是.
故答案为：.
15．【答案】(1)6
(2)证明见解析
【详解】（1）解：在直四棱柱中，，
易得，，，两两垂直.
故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
,
，，，．
，．
．
（2）证明：由（1）得：．
令，即 ，解得，
．
故C，E，F，G四点共面．
16．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设，则，
∵，则.
∵，∴.
故线段的长为.
（2）证明：∵，∴.
故.
17．【答案】(1)的坐标为或；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为，，
所以，
因为向量与平行，
所以可设，，
所以，因为，
所以，
所以，
所以或，
所以的坐标为或；
（2）因为，，，
所以，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量，
所以；
（3）因为，，，
所以，，
所以，
即，又，
所以，
所以的面积，
所以以，为邻边的平行四边形的面积为．
18．【答案】(1)证明见解析
(2).
(3).
【详解】（1）因为，因为，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，C−1,3,0，
设平面的法向量为，，，
由，取.
设平面的法向量为，，
由，取，
.
二面角是钝角，
二面角的正弦值为.
（3）设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：在上取点，使得，连接，
如图1.
因为，所以.
因为平面平面，所以平面.
因为，所以，又，所以.
因为平面平面，所以平面.
因为且都在面内，所以平面平面.
因为平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，如图2.
由题意可得是边长为4的正三角形，则，
且，所以为二面角的平面角，即，则为正三角形，
所以.
（3）取的中点，连接，则，且.
由（2）得，，平面，
所以平面，因为平面，所以.
又因为，，平面，
所以平面.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，
则，
.
又，所以.
连接，则，
，
所以.
当时，取得最小值，且最小值为3，则的最小值为
此时，则.
设平面的法向量为n=x,y,z，
则即取，得.
因为平面，所以直线到平面的距离就是点到平面的距离，
则点到平面的距离.
故直线到平面的距离为.
2024-2025学年山西省晋中市高二上学期9月月考数学检测试题（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．在空间直角坐标系中，已知点，则线般的中点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．若是平面的一个法向量，且与平面都平行，则向量等于（ ）
A．（）B．
C．D．
4．已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．若直线：的倾斜角为，则“”是“不是钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知点，，，若A是直线：和：的公共点，则直线BC的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
8．正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（ ）.
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知空间中三点则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．在上投影向量的长度为
10．直线l过点，倾斜角为，且，则直线l经过点（ ）
A．B．
C．D．
11．直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，O为底面中心，为中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若，则与底面所成角的正弦值的取值范围是 .
13．如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则 ．

14．某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为 ．

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
17．已知直线：.
(1)证明无论为何值，直线经过定点，并求出点的坐标；
(2)若斜率大于0，且经过（1）中点的直线与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点，求面积的最小值.
18．已知菱形中，，，边所在直线过点．求：
(1)边所在直线的方程；
(2)对角线所在直线的方程．
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点．

(1)证明：．
(2)若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】设线般的中点坐标为，
由可得，
所以可得，所以线般的中点坐标是，
故选：A.
2．【答案】B
【详解】由题知，且与不共线，即 ，
解得且．
故选：B．
3．【答案】D
【详解】因为是平面的一个法向量，且与平面都平行，
则，即，
解得，
所以．
故选：D．
4．【答案】B
【详解】由点，，得线段AB中点的坐标为，
故过点且与直线平行的直线的方程可设为，
代入点，可得，故所求直线方程为，
故选：B
5．【答案】A
【详解】若，则的斜率，则不是钝角.
若或，则.
故“”是“不是钝角”的充分不必要条件.
故选：A
6．【答案】B
【详解】由点在：上可知，，
同理由点在：上可知，
故点与均满足方程，
由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为，
故选：B
7．【答案】A
【详解】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角，
所以平面平面，
因为是菱形，是的中点，
所以，，
而平面平面，平面，
所以平面，而平面，
所以，
以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，
为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，
易得平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
故选：A

8．【答案】C
【详解】取的中点M，连接，
则，则，即，
故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球.
由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3，
即动点P的轨迹为正方体的外接球.
取的中点N，连接，
则
.
由题可知，，则，，
则.
所以的最小值为，
故选：C
9．【答案】ACD
【详解】对于A，由，则，故A正确；
对于B，由，，因为，所以两向量显然不平行，故B错误；
对于C，由，，则，故C正确；
对于D，在上投影向量的长度为，故D正确.
故选：ACD.
10．【答案】ABC
【详解】因为，所以，
则直线l斜率为，又直线l过点，
所以直线l方程为，即.
对方程，
令，得，故A正确；
令，得，故B正确；
令，得，故C正确；
将点代入方程左式得，故D错误.
故选：ABC.
11．【答案】BC
【详解】对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确．
对于B选项，当时，符合题意，B正确．
对于C选项，当或时，符合题意，C正确．
对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确．
故选：
12．【答案】
【详解】由题意，建立空间直角坐标系，如图所示，
面，则即为与底面所成角
则
设，
，，
由，即
得，，
则
则OP的最小值为，最大值为1，
PM的最小值为，最大值为，
所以与底面所成角的正弦值的最大值为，最小值为，
故答案为：
13．【答案】
【详解】因为，
所以
又二面角的平面角大小为，
四边形，均为边长为4的正方形，
所以，
，
，
所以，则．
故答案为：
14．【答案】
【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形．

由题可知，直线的方程为，直线的方程为．
设，其中，则，，
则，，
四边形的面积．
当时，取得最大值．
故答案为：
15．【答案】不存在，理由见解析
【详解】由已知得，，则三点不共线.
假设存在点满足条件，
则，．
因为四边形是等腰梯形，且，所以．
即
所以，
解得或．
当，，时，
，且三点不共线，
故此时四边形为平行四边形，不合题意；
当，，时，点与点重合，不合题意．
故假设不成立，即不存在满足条件的点．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面的距离为；
（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
17．【答案】(1)证明见解析，点的坐标为
(2)4
【详解】（1）解：证明：将直线的方程转化为，
令，解得，
故无论为何值，直线经过定点，且点的坐标为.
（2）解：由题意可设该直线的方程为，
令，得；令，得，
因为是直角三角形，
所以的面积
，
当且仅当即时，等号成立，
故面积的最小值为4.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知得直线，
又，
边所在直线的方程为：，
即
（2）由已知得与互相垂直平分，
又，且中点为，
，
所在直线方程为：，
即.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，取AD的中点F，连接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形，，∴，．
∵，平面PEF，∴平面PEF．
又∵平面PEF，∴．
（2）由（1）可知，二面角的平面角为，且为，
过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，
∵平面PEF，平面PEF，∴，
∵平面，∴平面，
以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易得，，，，
则，，，，，
，，，，
设平面PAB的法向量为，则
得取，则．
设，，则，
设直线DG与平面PAB所成的角为，
则，
令，则，．
当时，，；
当时，，
当，即，时，取得最大值，且最大值为，此时．
所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为．