山西省吕梁市2023-2024学年高二下学期5月质量检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份山西省吕梁市2023-2024学年高二下学期5月质量检测数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，的展开式中项的系数为等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，第二册，第三册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．统计x与y两个变量的五组对应数据如下表所示，若y与x之间的经验回归直线方程为，估计当时，y的值为（ ）
A．125 B．130 C．133 D．166
4．在某次物理测评中，学生的成绩X服从正态分布，若参加物理测评的学生有500人，则测评成绩在60分至90分之间的学生约有（ ）
参考数据：若，则，．
A．341人 B．409人 C．460人 D．477人
5．的展开式中项的系数为（ ）
A．112 B．136 C．184 D．256
6．已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数为隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则有（y是x的函数，需要用复合函数的求导法则求导），得．利用隐函数求导方法可求得曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．设是双曲线的左、右焦点，点A是C的右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正项等差数列的前n项和为，，公差为d，若，则（ ）
A．或 B． C． D．
10．甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFxpr三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C不是互斥事件
C． D．
11．如图，正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的点，且，平面AEF与棱交于点G，若点P为正方体内部（含边界）的点，满足，则（ ）
A．点P的轨迹为四边形AEGF及其内部
B．当时，点P的轨迹长度为
C．当时，
D．当时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机变量X的分布列，则_______．
13．给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有红，黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则不同的涂色方法有____种．
14．若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在数列中，．
（1）求；
（2）求数列的前n项和．
16．（本小题满分15分）
某超市为调查顾客单次消费金额与性别是否有关，随机抽取70位当日来店消费的顾客，其中女性顾客有40人，统计发现，单次消费超过100元的占抽取总人数的，男性顾客单次消费不超过100元的占抽取总人数的．
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联?
（2）在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中女性人数为X，求X的分布列与数学期望．
参考公式： （其中）．
参考数据：
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中平面底面ABCD，，．
（1）求值：平面PBD；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求a的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为c，且过点．
（1）求的方程；
（2）若AB分别为的上、下顶点．O为坐标原点，直线l过的右焦点F与交于C，D两点，与y轴交于P点；
①若E为CD的中点求点E的轨迹方程；
②若AD与直线BC交于点Q，求证为定值．
2023～2024学年高二5月质量检测卷·数学
参考答案，提示及评分细则
1．C 因为．所以．故选C．
2．D 由题意知该抛物线的焦点在y轴上，且，所以，故其焦点坐标为．故选D．
3．C ，因为回归直线必过点，即点，所以，所以，
所以，故当时，．故选C．
4．B 由题意知，所以，故符合条件的学生人数约为．故选B．
5．B 的展开式的通项为，要得到项，必有，所以，所以，或．当时，，而展开式中的项为，故中项的系数为；当时，，而中的常数项为1，故中
项的系数为，所以所求项的系数为．故选B．
6．D 由，得，由，得，故l过定点，因为点P在圆O上，，当时，点P到l的距离最大，最大距离为，又因为此时，故l的斜率为1，此时无解，故这样的直线l不存在，所以距离，当直线l与圆O相交时，点P到l的距离最小，最小距离为0，故点P到l的距离的取值范围为．故选D．
7．D 由，得，则，将点的坐标代入，
得，即，所以所求切线的方程为，
即．故选D．
8．A设，由对称性不妨设点A在第一象限，此时M也在第一象限，
因为，所以，
所以，又，
解得，
所以，
所以，解得，所以，代入双曲线方程，得，解得，，所以．故选A．
9．BCD 由等差数列的性质以及，得，即，解得或，若，则，符合题意，若，，不符合题意，故A错误，B正确；易求，
所以，故C正确；则，所以，故D正确．故选BCD．
10．BCD 4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有种安排方案，甲学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言，各有种方案，∴；甲、乙均学习VisualBasic编程语言，有种方案，
∴；甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC＋＋编程语言，有种方案，∴，对于A，∵，∴事件A与B不相互独立，故A错误；对于B，∵，∴事件A与C不是互斥事件，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确．故选BCD．
11．ABD 对于A，取上一点H，使得，连接EH，FH，HB，
易证四边形AFHB和四边形BHGE是平行四边形，所以，
所以四边形AEGF为平行四边形，因为，由空间向量基本
定理可知，所以P在四边形AEGF内（或边界上），故A正确；对于B．
当时，，所以，即，P在线段EG
上，点P的轨迹长度为线段EG的长，所以，故B正确；对于C，
当时，易得点P为线段AF的中点，以D为坐标原点，建立如
图所示的空间直角坐标系．则，得．
则．则，所以不成立，故C错误；对于D，当时，．分别取AF，EG的中点M，N．连接MN，P在线段MN上，
．所以由，可得，平面ABCD的一个
法向量为．设AP与平面ABCD所成的角为，
所以，设，因为，则，
则代入上式并化简可得，当时，直线AP与平面ABCD所成角的
正弦值的最大值为，D正确．故选ABD．
12． 由分布列的性质知，所以．
13．84 由题意可知：四个区域最少涂两种颜色，最多涂四种颜色，所以分以下三类：当涂两种颜色时；A和C相同，B和D相同，共有种涂色方法；当涂三种颜色时：分A和C相同和A，C不同两种情况，此时共有种涂色方法；当涂四种颜色时：四个区域各涂一种，此时共有种涂色方法．综上，不同的涂色方法有种．
14． 不等式即，所以．
设，则，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以．令，
则．当时，，单调递增，则，故满足条件；当时，在上单调递减，
在上单调递增，则，设，
则，则在上单调递减，又，
所以，所以，所以a的最大值为．
15．解：（1），
两边同乘以2，得， 2分
两式相减，得 5分
所以． 6分
（2）由（1）知，
所以 8分
10分
13分
16．解：（1）由题意得如下2×2列联表：
零假设：顾客的单次消费是否超过100元与性别无关联，
由列联表中的数据，计算得
故依据小概率值的独立性检验，能认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联． 6分
（2）在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取的7人中，
女性有人， 7分
所以X的可能取值为0，1，2，3，
则． 9分
， 11分
故X的分布列为
所以． 15分
17．（1）证明：过点D作于N， 1分
因为，
所以，所以，
所以，所以， 3分
因为平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，
所以平面PAD， 5分
又平面PAD，所以，
又，BD，平面PBD，
所以平面PBD． 7分
（2）解：因为，所以，如图，以D为坐标原点，

DN，DC所在直线分别为x轴，y轴，以过点D且垂直于平面ABCD的直
线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以． 9分
设平面PBC的一个法向量为，则，
令，则，所以， 12分
设直线PA与平面PBC所成角为，
则
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为． 15分
18．解：（1）由题意知的定义域为，
，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 3分
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减． 6分
（2）由，得，即，
令，问题转化为恒成立，
， 8分
令，则当时，所以，也就是在
上单调递增，所以． 11分
①当，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，满足题意； 12分
②当时，即时，因为当．时，，
所以存在，使得，所以存在，使得， 14分
所以对，，所以在上单调递减，
所以，不合题意．
综上所述，满足条件的a的取值范围为． 17分
19．（1）解：设的焦距为2c，则．则 1分
所以，又， 2分
所以，
所以的方程为． 4分
（2）①解：由（1）知，由题意知直线l的斜率存在，故设l的方程为，，
由，消去y并整理，得， 5分
则，
所以， 7分
所以，所以， 8分
又，所以，
化简，得 （去掉点），
即点E的轨迹方程为 （去掉点）． 10分
②证明：由（1）知，由（2）①知，
当时，C，D分别为的左、右顶点，由椭圆的对称性知，不合题意，故，
当P异于A，B时，设，
由A，Q，D三点共线，得，由B，Q，C三点共线，
得，因为， 12分
两式相除，得
，
解得．所以，为定值， 15分
当P点与A点重合时，，
当P点与B点重合时，，
所以，为定值． 17分
x
1
2
3
4
5
y
85
100
100
105
110
0.050
0.025
0.01
3.841
5.024
6.635
单次消费超过100元
单次消费不超过100元
合计
女性
15
25
40
男性
20
10
30
合计
35
35
70
X
0
1
2
3
P