2024-2025学年山西省吕梁市高二上学期10月月考数学质量检测试卷合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年山西省吕梁市高二上学期10月月考数学质量检测试卷合集2套（附解析），共48页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，曲线与轴围成区域的面积为，已知直线，直线，则等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）
A.B.C.D.
3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（ ）
A.B.C.D.
4.两平行直线，之间的距离为（ ）
A.B.3C.D.
5.曲线与轴围成区域的面积为（ ）
A.B.C.D.
6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）
A.B.C.D.3
7.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
8.在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）
A.2B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ）
A.若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面
B.若，则，的夹角是锐角
C.不相等的两个空间向量的模可能相等
D.若，是两个不共线的向量，且（，且），则构成空间的一个基底
10.已知直线，直线，则（ ）
A.当时，与的交点为B.直线恒过点
C.若，则D.存在，使
11.“太极图”是中国传统文化之一，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆.则下列命题正确的是（ ）
A.黑色阴影区域在轴右侧部分的边界所在圆的方程为
B.直线与白色部分有公共点
C.点是黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为4
D.过点作互相垂直的直线，，其中与圆交于点，，与圆交于点，，则四边形面积的最大值是22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为_________.
13.圆和圆的公切线的方程为________.
14.如图，在四棱锥中，，且，若，，则平面与平面夹角的余弦值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知直线与交于，两点.
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）若，求的值.
16.（本小题满分15分）
如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
在平行四边形中，，，.
（1）若圆过，，三点，求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，切点为，，求.
18.（本小题满分17分）
如图，四边形是直角梯形，，，，为的中点，是平面外一点，，，，是线段上一点，三棱锥的体积是.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19.（本小题满分17分）
已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且截直线所得的弦长为4.
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，为线段上一点且满足，记点的轨迹为曲线.
①求曲线的方程，并说明曲线的形状；
②在直线上是否存在异于原点的定点，使得对于上任意一点，为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.
参考答案、提示及评分细则
1.C 设直线的倾斜角为，则，又，所以.故选C.
2.A 圆的方程可化为，圆心的坐标是.故选A.
3.D .故选D.
4.A 直线可化为，直线，所以两平行直线之间的距离为.故选A.
5.B 曲线的方程化为，即，所以这条曲线与轴围成的区域是一个半径的半圆，其面积为.故选B.
6.C ，点到平面的距离.故选C.
7.B 解法一：设，由以为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，得关于的不等式有解，即有解，所以，解得或.故选B.
解法二：圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆.又直线上存在点，使以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，所以只需圆与直线有公共点即可.由，解得或.故选B.
8.D 因为在正三棱柱中，为的中点，取的中点，连接，如图，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，因为是棱上的动点，设，且，因为，所以，于是令，，所以，.又因为函数在上单调递增，所以当时，，即线段长度的最小值为.故选D.
9.AC 选项A，由空间向量基本定理可知正确；
选项B，当且，时，，故B错误；
选项C，由向量定义可知正确；
选项D，由平面向量基本定理可知，与，共面，则不能构成空间的一个基底，故D错误.故选AC.
10.ABC 对于A.当时，直线，直线，
由解得所以两直线的交点为，故A正确；
对于B，直线，令解得即直线恒过点，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，假设存在，使，则，解得或，当时，，，两直线重合，舍去，当时，直线，直线，两直线重合，舍去，所以不存在，使，故D错误.故选ABC.
11.ABD 对于A，黑色阴影区域在轴右侧部分的边界所在圆的圆心为，半径为2，所以圆的方程为，故A正确；
对于B，白色部分包含左侧小半圆和右侧大半圆，直线的斜率大于0，且过点，所以直线与右侧大半圆无公共点，左侧小半圆的方程为，圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以左侧小半圆与直线有公共点，故B正确；
对于C，黑色阴影部分小半圆的方程为，设，由题意知直线与圆有公共点，此时，解得，又黑色阴影部分小半圆在轴右侧，当直线与半圆相切时有最大值，此时在轴截距为，故，故C错误；
设原点到直线，的距离分别为，，则，，且，四边形的面积为，
当且仅当，即时等号成立，所以四边形面积的最大值是22，故D正确.故选ABD.
12.因为直线与直线垂直，所以直线的斜率，又直线在轴上的截距为4，即直线过点，由点斜式可得直线，化简得.
13.或或由题意易得两圆相外切，且均与直线相切，直线与直线的交点为，所以设过的另外一条切线为，故，解得，或，故.因为的斜率为，故过两圆切点的切线斜率为，设过公切点的切线方程为，则，所以，故.
14. 因为，所以，，又，
所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以.分别取，的中点，，因为，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以，又，以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量，则平面与平面夹角的余弦值.
15.解：（1）方程可化为，圆心，半径，
取的中点，则直线是线段的垂直平分线，
所以，因为，所以，
所以线段的垂直平分线的方程为，即.
（2）点到直线的距离，
所以，即，解得.
16.解：（1）以为原点，，，的方向分别作为，，轴的正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，.
设直线与所成的角为，则
，
即直线与所成角的余弦值是.
（2）由（1）知，，，
设平面的法向量为，则
取，得，所以平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17.解：（1）设圆的方程为，
则解得
故所求圆的方程为，
其标准方程为.
（2）设，由题意知，所以，所以，，
即，所以，所以，
所以四边形的面积.
又，所以，
所以.
18.（1）证明：如图，连接交于点，
因为，，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即.
又因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以.
又因为，所以，
又，，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，、所在直线分别为、轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，.
设，则，即点，
则三棱锥的体积，
解得，所以.
则，设平面的法向量，
由令，得平面的一个法向量，
易知，为平面的一个法向量，
所以，
由图可知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值是.
19.解：（1）设圆心，因为圆与轴正半轴相切，所以，且半径.
因为圆截直线所得的弦长为4，所以，
解得（负根舍），
故圆心为，半径等于3，所以圆的方程为.
（2）①设，，因为，所以，所以，
即所以
又因为点在圆上，所以，
即，所以，
所以点的轨迹方程为，
它是一个以为圆心，以为半径的圆.
②假设存在一点，满足，
设，则，
整理化简得：，
因为在曲线上，所以，
即.
所以，
所以，
所以解得
故点的坐标为与原点重合，不合题意，故不存在异于原点的点满足题目要求条
2024-2025学年山西省吕梁市高二上学期10月月考数学质量检测试卷（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．若直线的倾斜角为，则（ ）．
A．0B． 2π5 C． π2 D．不存在
2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线：与直线：，则“ a=−1 ”是“ l1//l2 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，, D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知两点，若直线 l:y=kx−2k+2 与线段有公共点，则 k 的取值范围为（ ）
A． −∞,−1∪1,+∞ B． −∞,−1∪0,1
C． −1,0∪1,+∞ D． −1,1
8．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. 已知，是一组“共轭线对”，则，的夹角的最小值为（ ）
A． π6 B． π3 C． π4 D． π12
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中不正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
C. 过两点的直线的方程为
D. 直线在在y轴上的截距为 2
10．在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．向量与的夹角的余弦值为
C．点关于轴的对称点坐标为
D．向量在上的投影向量为
11．如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的表面积为
B. 若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
C. 若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为
D. 的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知点 P 在平面 ABC 上，点 O 是空间内任意一点，且 OP=12OA+mOB+32OC （ m∈R ），则 m 的值为_______.
13．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为_______.
14．在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），若且与平面所成的角最大时，线段 A1Q 的长度为_______.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点.
(1)求边上的中线的一般式方程；
(2)求经过点且与直线垂直的直线方程.
16．已知，，且 a⊥b .
(1)求；
(2)求与夹角的余弦值.
17．已知直线
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
18．已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、 AD 的中点，平面．
(1)求证：；
(2)求点B到平面 EFM 的距离；
(3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面 EFM 所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．
19．已知 Ω 是棱长为 2 的正四面体 ABCD ，设 Ω 的四个顶点到平面 α 的距离所构成的集合为 M ，若 M 中元素的个数为 k ，则称 α 为 Ω 的 k 阶等距平面， M 为 Ω 的 k 阶等距集.
(1)若 α 为 Ω 的1阶等距平面且1阶等距集为 a ，求 a 的所有可能值以及相应的 α 的个数；
(2)已知 β 为 Ω 的4阶等距平面，且点 A 与点 B,C,D 分别位于 β 的两侧.是否存在 β ，使 Ω 的4阶等距集为 b,2b,3b,4b ，其中点 A 到 β 的距离为 b ？若存在，求平面 BCD 与 β 夹角的余弦值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【分析】知识点：直线的倾斜角
根据直线的方程即可求解.
【详解】因为，
为一常数，故直线的倾斜角为，
故选：C
2．【答案】B
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值.
【详解】向量，且，
所以，解得，
故选：B.
3．【答案】C
4．【答案】A
【详解】连接，因为，分别是的中点，
所以
，
故．
故选：A
5．【答案】A
【详解】由题设，构造如下图示的空间直角坐标系，则，
所以，则.
所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为.
故选：A
6．【答案】B
【详解】，则点到直线的距离为：
.
7．【答案】D
【详解】由直线 l:y=kx−2k+2 ，变形可得，直线恒过定点，
则，又直线的斜率为 k ，
若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 −1,1 .故选：D.
8．【答案】B
【详解】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则 ，
等号成立的条件是，所以的最小值为，
则两直线的夹角的最小值为；
9．【答案】ACD
【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
B：由题设，直线方程为，显然在直线上，对；
C：过且两点的所有直线的方程为，故B错误；
D：直线在y轴上的截距为，错.
10．【答案】BD
根据空间两点距离公式可判断A；根据空间向量的夹角坐标公式可判断B；根据点的对称性可判断C；根据投影向量的概念可判断D.
【详解】记，，
对于A，，故A错误；
对于B，，，，
设与的夹角为，则，故B正确；
对于C，点关于轴的对称点坐标为，故C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选：BD．
11．【答案】ABD
【分析】连结OB.证明出面ABC.O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
对于A：直接求出三棱锥的表面积，即可判断；
对于B：用向量法求出异面直线与所成角的余弦值，即可判断；
对于C：用向量法求出二面角的平面角的正弦值为，即可判断；
对于D:把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为AP，利用余弦定理可以求得.
【详解】连结OB.
在三棱锥中，，，.
所以,,且,.
所以，所以.
又因为，所以面ABC.
可以以O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，，所以,,,.
对于A：在三棱锥中，，，，
所以底面三角形为直角三角形，其面积为；
为边长为2的等边三角形，所以面积为；
和为腰长为2，底边为的等腰三角形，所以面积均为；
所以三棱锥的表面积为.故A正确；
对于B：为棱的中点，所以,所以,.
所以异面直线与所成角的余弦值为.故B正确；
对于C：点是棱上一动点，不妨设，（） .
所以.
设为面PAM的一个法向量，则，
不妨设y=1，则
.因为与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得：取，则
显然，面PAC一个法向量为.
设二面角的平面角为，所以，
所以.
故C错误；
对于D:
如图示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.
当M与B重合时，；
当M与C重合时，最大；
连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，最小.
此时，，所以.
由余弦定理得：
.
所以取值范围为.
故D正确.
故选：ABD
12．【答案】 −1
13．【答案】
【详解】 ∵直线的一个方向向量为，∴，
∴直线的方程为，即．
14．【答案】 62
【详解】正方体中，可得平面，且平面，
所以，则，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为，
则，所以，即，
又由，设与平面所成的角，
所以，
因为，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，即时，与平面所成的角最大值，即，
可得， A1Q=62
15．【答案】(1)
(2) x+6y−22=0
【分析】（1）先确定 M1,1 ，然后通过两点的坐标确定方程；
（2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程.
【详解】（1）由于，，故 M1,1 ，而，故的方程是，即.
（2）由于直线的斜率是，.所以经过点且与直线垂直的直线方程为 y−3=−16x−4 ，即 x+6y−22=0 .
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量垂直的坐标表示可求得，即可计算出即可求得模长为；
（2）根据向量夹角的计算公式即可求得结果.
【详解】（1）根据题意由可得，
即，解得；
所以，
因此，即.
（2）易知，且；
所以，
即与夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)；(2) 4，
【详解】（1）由直线不经过第四象限，又，
则，解得；
（2）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为，由直线的方程可得与坐标轴的交点，，
则，解得：．
，
当且仅当，即时取等号．
的最小值为4，及此时直线的方程为：．
18．【答案】(1)证明见详解
(2) 3
(3)存在点满足题意，
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，又底面是正方形，则，
且与是平面内两条相交直线，
所以平面，平面，所以，
又分别是的中点，所以，
所以.
（2）因为分别是的中点，
所以，
所以平面即是平面，
由（1）知平面，则平面，平面，
，则，
设点到平面的距离为，由，
得，即，
解得，
所以点到平面的距离为.
（3）如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则， A2,0,0 ，，，，
，，，
设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且，
，，
，
设平面的一个法向量为 n→=a,b,c ，
则，即，令，得，
，
，整理得，
解得或（舍），
，即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.
19．【答案】(1)答案见解析
(2)存在， 427 .
【分析】（1）分两种情况得出 a 的所有可能值以及相应的 α 的个数；
（2）先根据已知得出 AD:DB=1:2,AE:EC=1:3,AF:FD=1:4 ，再计算求得余弦值.
【详解】（1）①情形一：分别取 AB,AC,AD 的中点 M,E,F ，
由中位线性质可知 DE=EF=22 ，
此时平面 DEF 为 Ω 的一个1阶等距平面，
b 为正四面体高的一半，等于 12×63×2=33 .
由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面 α 平行于其中一个面，有4种情况；
②情形二：分别取 AB,AC,CD,DB 的中点 P,Q,R,S
将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，
则 a 为正方体棱长的一半，等于 12 .
由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，
这样的1阶等距平面 α 平行于其中一组异面直线，有3种情况.
综上，当 a 的值为 33 时， α 有4个；当 a 的值为 12 时， α 有3个.
（2）在线段 AB,AC,AD 上分别取一点 M,E,F ，
使得 AM:MB=1:2,AE:EC=1:3,AF:FD=1:4 ，则平面 β 即为平面 MEF .
如图，取 BD 中点 O ，连接 OC, ，以 O 为坐标原点， OC,OD 所在直线分别为 x,y 轴，过点 O 且与平面 BCD 垂直的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，
A66,0,233 ，设 ME=AE−AM=14AC−13AB=1463,0,−233−13−66,−22,−233=5636,26,318 ，
MF=AF−AM=15AD−13AB=15−66,22,−233−13−66,−22,−233=645,4215,4345 ，
设平面 MEF 法向量为 m→=x,y,z
所以 m⋅MF=0m⋅ME=0 ，即 x+43y+22z=05x+23y+2z=0 ，
所以 m=0,1,−6 ，
又平面 BCD 的法向量为 n=0,0,1 ，
设平面 BCD 与 β 夹角为 θ
所以 csθ=m⋅nm⋅n=61+6=427 ，
所以平面 BCD 与 β 夹角余弦值为 427 .
2024-2025学年山西省吕梁市高二上学期10月月考数学质量检测试卷（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．若直线的倾斜角为，则（ ）．
A．0B． 2π5 C． π2 D．不存在
2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线：与直线：，则“ a=−1 ”是“ l1//l2 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，, D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知两点，若直线 l:y=kx−2k+2 与线段有公共点，则 k 的取值范围为（ ）
A． −∞,−1∪1,+∞ B． −∞,−1∪0,1
C． −1,0∪1,+∞ D． −1,1
8．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. 已知，是一组“共轭线对”，则，的夹角的最小值为（ ）
A． π6 B． π3 C． π4 D． π12
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中不正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
C. 过两点的直线的方程为
D. 直线在在y轴上的截距为 2
10．在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．向量与的夹角的余弦值为
C．点关于轴的对称点坐标为
D．向量在上的投影向量为
11．如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的表面积为
B. 若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
C. 若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为
D. 的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知点 P 在平面 ABC 上，点 O 是空间内任意一点，且 OP=12OA+mOB+32OC （ m∈R ），则 m 的值为_______.
13．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为_______.
14．在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），若且与平面所成的角最大时，线段 A1Q 的长度为_______.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点.
(1)求边上的中线的一般式方程；
(2)求经过点且与直线垂直的直线方程.
16．已知，，且 a⊥b .
(1)求；
(2)求与夹角的余弦值.
17．已知直线
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
18．已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、 AD 的中点，平面．
(1)求证：；
(2)求点B到平面 EFM 的距离；
(3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面 EFM 所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．
19．已知 Ω 是棱长为 2 的正四面体 ABCD ，设 Ω 的四个顶点到平面 α 的距离所构成的集合为 M ，若 M 中元素的个数为 k ，则称 α 为 Ω 的 k 阶等距平面， M 为 Ω 的 k 阶等距集.
(1)若 α 为 Ω 的1阶等距平面且1阶等距集为 a ，求 a 的所有可能值以及相应的 α 的个数；
(2)已知 β 为 Ω 的4阶等距平面，且点 A 与点 B,C,D 分别位于 β 的两侧.是否存在 β ，使 Ω 的4阶等距集为 b,2b,3b,4b ，其中点 A 到 β 的距离为 b ？若存在，求平面 BCD 与 β 夹角的余弦值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【分析】知识点：直线的倾斜角
根据直线的方程即可求解.
【详解】因为，
为一常数，故直线的倾斜角为，
故选：C
2．【答案】B
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值.
【详解】向量，且，
所以，解得，
故选：B.
3．【答案】C
4．【答案】A
【详解】连接，因为，分别是的中点，
所以
，
故．
故选：A
5．【答案】A
【详解】由题设，构造如下图示的空间直角坐标系，则，
所以，则.
所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为.
故选：A
6．【答案】B
【详解】，则点到直线的距离为：
.
7．【答案】D
【详解】由直线 l:y=kx−2k+2 ，变形可得，直线恒过定点，
则，又直线的斜率为 k ，
若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 −1,1 .故选：D.
8．【答案】B
【详解】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则 ，
等号成立的条件是，所以的最小值为，
则两直线的夹角的最小值为；
9．【答案】ACD
【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
B：由题设，直线方程为，显然在直线上，对；
C：过且两点的所有直线的方程为，故B错误；
D：直线在y轴上的截距为，错.
10．【答案】BD
根据空间两点距离公式可判断A；根据空间向量的夹角坐标公式可判断B；根据点的对称性可判断C；根据投影向量的概念可判断D.
【详解】记，，
对于A，，故A错误；
对于B，，，，
设与的夹角为，则，故B正确；
对于C，点关于轴的对称点坐标为，故C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选：BD．
11．【答案】ABD
【分析】连结OB.证明出面ABC.O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
对于A：直接求出三棱锥的表面积，即可判断；
对于B：用向量法求出异面直线与所成角的余弦值，即可判断；
对于C：用向量法求出二面角的平面角的正弦值为，即可判断；
对于D:把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为AP，利用余弦定理可以求得.
【详解】连结OB.
在三棱锥中，，，.
所以,,且,.
所以，所以.
又因为，所以面ABC.
可以以O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，，所以,,,.
对于A：在三棱锥中，，，，
所以底面三角形为直角三角形，其面积为；
为边长为2的等边三角形，所以面积为；
和为腰长为2，底边为的等腰三角形，所以面积均为；
所以三棱锥的表面积为.故A正确；
对于B：为棱的中点，所以,所以,.
所以异面直线与所成角的余弦值为.故B正确；
对于C：点是棱上一动点，不妨设，（） .
所以.
设为面PAM的一个法向量，则，
不妨设y=1，则
.因为与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得：取，则
显然，面PAC一个法向量为.
设二面角的平面角为，所以，
所以.
故C错误；
对于D:
如图示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.
当M与B重合时，；
当M与C重合时，最大；
连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，最小.
此时，，所以.
由余弦定理得：
.
所以取值范围为.
故D正确.
故选：ABD
12．【答案】 −1
13．【答案】
【详解】 ∵直线的一个方向向量为，∴，
∴直线的方程为，即．
14．【答案】 62
【详解】正方体中，可得平面，且平面，
所以，则，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为，
则，所以，即，
又由，设与平面所成的角，
所以，
因为，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，即时，与平面所成的角最大值，即，
可得， A1Q=62
15．【答案】(1)
(2) x+6y−22=0
【分析】（1）先确定 M1,1 ，然后通过两点的坐标确定方程；
（2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程.
【详解】（1）由于，，故 M1,1 ，而，故的方程是，即.
（2）由于直线的斜率是，.所以经过点且与直线垂直的直线方程为 y−3=−16x−4 ，即 x+6y−22=0 .
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量垂直的坐标表示可求得，即可计算出即可求得模长为；
（2）根据向量夹角的计算公式即可求得结果.
【详解】（1）根据题意由可得，
即，解得；
所以，
因此，即.
（2）易知，且；
所以，
即与夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)；(2) 4，
【详解】（1）由直线不经过第四象限，又，
则，解得；
（2）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为，由直线的方程可得与坐标轴的交点，，
则，解得：．
，
当且仅当，即时取等号．
的最小值为4，及此时直线的方程为：．
18．【答案】(1)证明见详解
(2) 3
(3)存在点满足题意，
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，又底面是正方形，则，
且与是平面内两条相交直线，
所以平面，平面，所以，
又分别是的中点，所以，
所以.
（2）因为分别是的中点，
所以，
所以平面即是平面，
由（1）知平面，则平面，平面，
，则，
设点到平面的距离为，由，
得，即，
解得，
所以点到平面的距离为.
（3）如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则， A2,0,0 ，，，，
，，，
设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且，
，，
，
设平面的一个法向量为 n→=a,b,c ，
则，即，令，得，
，
，整理得，
解得或（舍），
，即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.
19．【答案】(1)答案见解析
(2)存在， 427 .
【分析】（1）分两种情况得出 a 的所有可能值以及相应的 α 的个数；
（2）先根据已知得出 AD:DB=1:2,AE:EC=1:3,AF:FD=1:4 ，再计算求得余弦值.
【详解】（1）①情形一：分别取 AB,AC,AD 的中点 M,E,F ，
由中位线性质可知 DE=EF=22 ，
此时平面 DEF 为 Ω 的一个1阶等距平面，
b 为正四面体高的一半，等于 12×63×2=33 .
由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面 α 平行于其中一个面，有4种情况；
②情形二：分别取 AB,AC,CD,DB 的中点 P,Q,R,S
将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，
则 a 为正方体棱长的一半，等于 12 .
由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，
这样的1阶等距平面 α 平行于其中一组异面直线，有3种情况.
综上，当 a 的值为 33 时， α 有4个；当 a 的值为 12 时， α 有3个.
（2）在线段 AB,AC,AD 上分别取一点 M,E,F ，
使得 AM:MB=1:2,AE:EC=1:3,AF:FD=1:4 ，则平面 β 即为平面 MEF .
如图，取 BD 中点 O ，连接 OC, ，以 O 为坐标原点， OC,OD 所在直线分别为 x,y 轴，过点 O 且与平面 BCD 垂直的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，
A66,0,233 ，设 ME=AE−AM=14AC−13AB=1463,0,−233−13−66,−22,−233=5636,26,318 ，
MF=AF−AM=15AD−13AB=15−66,22,−233−13−66,−22,−233=645,4215,4345 ，
设平面 MEF 法向量为 m→=x,y,z
所以 m⋅MF=0m⋅ME=0 ，即 x+43y+22z=05x+23y+2z=0 ，
所以 m=0,1,−6 ，
又平面 BCD 的法向量为 n=0,0,1 ，
设平面 BCD 与 β 夹角为 θ
所以 csθ=m⋅nm⋅n=61+6=427 ，
所以平面 BCD 与 β 夹角余弦值为 427 .