2024-2025学年河北省沧州市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省沧州市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析），共37页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在边长为1的正方体中，若点是侧面的中心，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在长方体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
3．在平行六面体中，运算的结果为（ ）
A．B．C．D．
4．在正方体中，点分别在上，且，则（ ）
A．B．与不平行
C．平面D．与平面不平行
5．如图，在棱长为1的正方体中，已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
7．在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图①，在中，分别为上的点，.如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）

A．CC1⊥BD
B．
C．夹角是60°
D．直线与直线的距离是
11．在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则下列选项正确的是（ ）．
A．
B．直线与所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为
D．存在实数，使得
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为 ．
13．正方体的棱长为1，点在棱上，，则平面与平面夹角的余弦值为 ．
14．如图，在棱长为3的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，写出一个满足条件的点的坐标为 ．

四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，，分别在线段上，且.
(1)证明：.
(2)求的长的最小值.
(3)当的长取得最小值时，求二面角的正弦值.
16．如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且．
(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
17．如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，.
(1)用表示向量；
(2)若，，，求.
18．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)在线段（不含端点）上是否存在一点H，使得平面与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
19．在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且他们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，及
(1)求的长；
(2)为何值时，的长最小，最小值是多少？
(3)当的长最小时，求平面与平面的夹角的余弦值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意得为的中点，所以
，
故．
故选：D
2．【答案】A
【详解】
.
故选：A.
3．【答案】C
【详解】在平行六面体中，，
，故C正确.
故选：C
4．【答案】C
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，
则，，，，，，
对A：，由，故与不平行，故A错误；
对B：因为，所以，故与平行，故B错误；
对C：，，设平面的法向量为，
则，即，令，则n=1,−1,1，
因为，所以，平面，则平面，故C正确；
对D：因为平面平面，
所以平面，故D错误．
故选：C.
5．【答案】D
【详解】以为原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则A1,0,0，，
设，则，，
因为，所以，即，解得.
故选：D.
6．【答案】C
【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，
所以
设向量与的夹角为，
则，
所以直线和夹角的余弦值为，
故选：C．
7．【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，根据题意，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】由空间直角坐标系中有棱长为2的正方体，
点分别是和的中点，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成角，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故选B.

8．【答案】B
【详解】当四棱锥的体积最大时，
平面，由题意得，.
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

所以，
则，
设平面的法向量为，
则即
令，则，
则点到平面的距离为．
故选：B.
9．【答案】BD
【详解】在中，因为，所以，故，即.
，
故选：BD.

10．【答案】ABD
【详解】

如图，设，
则
对于A，因，
则，故A正确；
对于B，因，，
则，故B正确；
对于C，，则，
且
设夹角为，则，因，则，即C错误；
对于D,在平行六面体中，易得,
则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离.
因，
且，
则，故D正确.
故选：ABD.
11．【答案】ABD
【分析】以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐项判断即可.
【详解】解：如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系
则，，，，，，，，，，
对于A，，所以，则，故A正确；
对于B，，，所以，
因此，直线与所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，又，设平面的法向量为，
则，令，则，又，
则点到平面的距离，
又中，，则，
所以，
故，故C错误；
对于D，因为，，所以，则，则四点共面.
又，，所以，则共面，
即存在实数,使得，故D正确；
故选ABD．
12．【答案】
【详解】解析：以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，可得
所以，所以＝
所以|EF|＝
故答案为：
13．【答案】
【详解】正方体的棱长为1，则有，
正方体中，平面，平面，得，
所以，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的法向量n=x,y,z，则，即，
取，则，得，
取平面的一个法向量为n1=0,0,1，
设平面与平面夹角为，则．
故答案为：.
14．【答案】（答案不唯一）
【详解】由题，得，，
设，平面的法向量为n=x,y,z，
则即令，则，，
，即．
取，则，故点．
故答案为：（答案不唯一）
15．【答案】(1)证明见解析
(2)2
(3)
【详解】（1）
取分别为线段的中点，连接，
在三棱柱中，平面是等边三角形，
所以，
又且是平面内两条相交直线
所以平面平面，
可知两两互相垂直，则以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
，设.可得
因为，
所以
（2）由（1）可知
令，根据二次函数的最小值可知，
当时，取最小值为，
所以的长的最小值为.
（3）当的长取得最小值时，即，则
，
设平面的法向量为，则
，令，则
设平面的法向量为，则
，令，则
设二面角的平面角为，所以
，
所以
二面角的正弦值.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）不妨设，又，
在中，，
，则，
所以，又，
，且也为等腰三角形．
，则，
则以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，
，
则，所以．
（2）由（1）可知，，
平面的法向量可取为，
且，，
设平面的法向量为，
则，可取，
，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意可得；
（2）易知，且，
显然，；
所以.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)存在满足题意的点H，此时.
【详解】（1）由题意可以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
∴，，，，，C1,1,0，A0,0,0
∴，，，
设平面的法向量为，则，
所以，令，则，
∴，
∵平面，∴平面.
（2）由（1）得，，，，，
假设在线段（不含端点）上存在一点H，使得平面与平面所成角的正弦值为，
则，，
设平面法向量n1=x1,y1,z1，则，
所以，令，则，
设平面法向量，则，
所以，令，则，
设平面与平面所成角为，则，
所以，
整理得，∵，∴.
故存在满足题意的点H，此时.
19．【答案】(1)
(2)当时，最小，最小值为
(3)
【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，
，，，，
因为，
所以，，
；
（2），
当时，最小，最小值为；
（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，
则，，取的中点，连接，，
则，
因为，，
所以，，
是平面与平面的夹角或其补角，
因为，，
所以
，
所以平面与平面的夹角的余弦值是.
2024-2025学年河北省沧州市高二上学期9月月考数学检测试题（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，若，则（ ）
A．5B．4C．1D．
3．如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线，䒴，，则（ ）
A．或B．C．或D．
6．已知，，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知点，，直线过点且与线段的延长线（不含点）有公共点，则直线的斜率的取值可能为（ ）
A．B．C．D．1
10．在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
11．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）

A．，，，四点共面
B．与所成角的大小为
C．在线段上存在点，使得平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是 .
13．在四面体中，，，，，则 ．
14．在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在梯形中，，，已知，，．
(1)求点的坐标；
(2)求梯形的面积．
16．在空间直角坐标系中，已知点，，，设，．
(1)若与互相垂直，求的值；
(2)求点到直线的距离．
17．如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求二面角的正弦值.
18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，．
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由．
19．球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球的半径为，，，为球面上三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
(1)若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
(2)将图1中四面体截出得到图2，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①证明：；
②延长与球交于点，连接，，若直线，与平面所成的角分别为，，且，，为的中点，为的中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由直线与轴垂直，即其倾斜角为.
故选：B.
2．【答案】A
【详解】因为，，，
所以，
因为，所以，解得，
所以.
故选：A.
3．【答案】C
【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；
令，得；令，得；
所以直线不经过第三象限.故选C.
4．【答案】A
【详解】
由题意可得，.
故选：A
5．【答案】B
【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解.
【详解】已知直线，
由，得，且，解得，
由，得，故.
故选：B.
6．【答案】C
【详解】易知，，，
设平面的法向量，则即
令，则，，所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离．
故选：C．
7．【答案】B
【详解】解：将直线方程变形为，
由，解得，
由此可得直线恒过点，
所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于
到直线的最短距离为0，此时直线经过点．
又，
所以到直线的距离的取值范围是．
故选：B．
8．【答案】D
【详解】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点，
连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为是棱上一动点，设，且，
因为，且，
所以，于是令，
所以，，
又函数在上为增函数，
所以当时，，即线段长度的最小值为.
故选：D.
9．【答案】BC
【详解】因为，，，
所以直线，，
又过斜率为0的直线与线段的延长线相交，
由图形可得直线过点且与线段的延长线（不含点）有公共点，
则直线的斜率的取值范围为.

故选：BC.
10．【答案】AC
【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解.
【详解】由题意得：如下图所示：

对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确；
对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误；
对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确；
对于D项：，
所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误.
故选：AC.
11．【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项.
【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，
设，

则，
所以，解得，
故，即，，，四点共面，故A正确；
因为，，
所以，
所以与所成角的大小为，故B错误；
假设在线段上存在点，符合题意，
设（），则，
若平面，则，,
因为，，
所以，此方程组无解，
所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；
因为，所以，
又平面，平面，所以平面，
故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，
又的面积是定值，
所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确；
故选：AD.
12．【答案】或
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，
设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，
则直线的方程为，
又因为直线过点，所以，
解得：，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或，
故答案为：y=2x或．
13．【答案】
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以.
又，，所以，
所以.
又，所以．
故答案为：30°
14．【答案】
【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为.
如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值.
设，则
解得即，
关于轴的对称点为，
故周长的最小值为.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，由，得，即，
由，得，即，
所以，，即点的坐标为．
（2）方法一：，，
设，又，
所以梯形的面积
；
方法二：，
，
由，，得直线的方程为，
点到直线的距离．
所以梯形的面积．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求得与的坐标，再根据与互相垂直求解；
（2）由求解.
【详解】（1）由题意知，，
所以，．
又与互相垂直，
所以，解得．
（2）由（1）知，，
所以，
所以点到直线的距离．
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）

取的中点，连接，显然，
由正三棱柱的特征可知底面，所以底面，
又底面，所以，
因为是中点，易得，
所以可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
，
故异面直线的夹角余弦值为；
（2）由上可知，
设面的一个法向量为，
则，
取，即，
易知面的一个法向量为，
由图象可知二面角为钝角，设其为，
所以，
则.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【详解】（1）证明：在中，，，由余弦定理，得
，所以，即．
因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）
设，的中点分别为，，连接，，
因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．
因为，分别为，的中点，所以，又，所以，即，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，B1,0,0，，，，
设，则，所以．
，，设m=x,y,z是平面的法向量，则即令，则，，即平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，又，
则，
即，解得．
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．
19．【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）若平面，平面，平面两两垂直，有，
所以球球面三角的面积为；
（2）①由余弦定理有：，且，
消掉，可得；
②由是球的直径，则，
且，平面，
所以平面，且平面，则，
且，平面，可得平面，
由直线直线，与平面所成的角分别为，，
所以，
不妨先令，则，
由，
以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立如图空间直角坐标系，设，
则，
可得，
则，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
可得平面的一个法向量为，
设平面法向量为，
则，取，则，
可得平面法向量为，
要使取最小值，则取最大值，
因为，
，
令，则，
可得，
当且仅当取等号．
则取最大值，为最小值.