上海市市东实验学校2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份上海市市东实验学校2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为_____等内容，欢迎下载使用。
高二年级数学试卷
（完卷时间：120分钟，满分150分）
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 直线的倾斜角为_____
【答案】
【解析】
【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角.
【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，则，
所以.
故答案为：
2. 抛物线的焦点坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.
【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.
3. 双曲线的渐近线方程是________.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程．
【详解】已知双曲线
令：=0
即得到渐近线方程为：y=±2x
故答案为y=±2x
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
4. 函数的驻点为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用导数的四则运算法则对函数求导，令，求出满足题意的即可.
【详解】设函数，则的定义域为，
求导可得，令，解得或（舍去）.
所以，函数驻点为1.
故答案为：1.
5. 已知函数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数求导法则求出导数，代入求值即可.
【详解】由函数，求导可得，
所以.
故答案为：.
6. 已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为________.
【答案】##
【解析】
【分析】应用导数的几何意义求切线的斜率，即可得直线的斜率.
【详解】由题设，则，
所以与曲线在点处的切线垂直的直线斜率为.
故答案为：
7. 设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的定义及已知有、、，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次式，即可求离心率.
【详解】由题设及图知，且，，
所以，则，
所以，即，可得（负值舍）.
故答案为：
8. 圆关于直线对称，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题设得直线过圆心，进而得，再结合基本不等式常数“1”的代换方法计算即可求解..
【详解】圆的圆心坐标为，
因为圆关于直线对称，
则直线过圆心，所以，则，
所以，
当且仅当时，即当时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
9. 已知抛物线的焦点为为圆上的动点，为上的动点，则的最小值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值．
【详解】经过作抛物线的准线的垂线，垂足为，
如图：由抛物线的定义可知：，
圆心，半径为，
当共线且经过圆的圆心时最小，此时取得最小值，
所以最小值为：．
故答案为：3．
10. 若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】首先将不等式转化为，再构造函数，利用导数求函数单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可求得结果.
【详解】因为，所以，
即，令，所以，
又，所以在上单调递增，所以，
即，令，所以，
令，解得，令，解得，所以在上单调递增，
在上单调递减，所以，所以，即的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要将不等式转化为，再构造函数，利用导数判断单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，通过两次构造函数即可求得结果.
11. 椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小.
现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为_______.
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，延长、交于点，连接，由光线反射可得出，且为的中点，结合中位线的性质和椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出该椭圆的焦距.
【详解】如下图所示：
不妨设椭圆的焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右焦点，连接，
延长、交于点，
由题意可知，点与点关于直线对称，则，且为的中点，
又因为为的中点，则，
所以，点在以圆心为原点，半径为的圆上，故，
由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用光线反射结合椭圆的定义、中位线的性质计算出的值，结合已知条件以及、、的关系求解.
12. 已知函数，当时，记在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】讨论的范围，利用导数求出函数单调性进行最大值和最小值的判断，求出，再构造函数求出的取值范围.
【详解】由求导得，
若，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以在区间上的最小值为，
而，，
所以在区间上的最大值为，
所以，
设函数，，
当时，，从而单调递减，
而，所以，即的取值范围是；
若，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以在区间上的最小值为，
而，，所以在区间上的最大值为，
所以，
而，所以，即的取值范围是，
综上得的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13. 已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围.
【详解】圆的标准方程为：，
故即或，
故选：D.
14. 已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调性及单调性，进而确定其图象.
【详解】由函数的图象，得当或时，；当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，选项ABC错误，D正确.
故选：D
15. 已知函数，下面表述不正确的为（ ）
A. 是的极小值点B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】对函数求导，求出函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，再对每个选项逐一判断即可.
【详解】对函数求导，
得，
令，解得：或；
令，解得：，
所以函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，如下图：
对于选项A：观察图像可知，选项A正确；
对于选项B：当时，，且函数在区间上单调递增，
故，故选项B错误；
对于选项C：当时，，且函数在区间上单调递减，
且，故，故选项C正确；
对于选项D：当时，，由，得，
故，故选项D正确；
故选：B
16. 设为曲线上的任意一点，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过讨论的取值，整理化简曲线解析式，并作出曲线的大致图像，利用曲线的方程，求出的最大值．
【详解】当时，曲线为；当时，曲线为，不成立；
当时，曲线为；当时，曲线为；
则曲线，曲线C的大致图象如图：
其中，，，直线是曲线的渐近线，
，表示曲线上的点到直线的距离，
设与直线平行的直线为，直线与曲线有公共点，
则，且是直线与曲线的公共点到直线的距离，
由图形知，当直线与曲线相切，即曲线相切时，最大，
由消去得，则，
解得，直线为，
所以.
故选：C
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 已知函数，曲线在点处的切线与平行．
（1）求的值：
（2）求的单调增区间．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义即可求得的值.
（2）由（1）求出导函数大于0的不等式的解集即可得解.
【小问1详解】
函数，求导得，
由曲线在点处的切线与平行，得
即，解得，此时，点不在直线上，
所以.
小问2详解】
由（1）知，其定义域为，，
由，即，解得，
所以的单调增区间是.
18. 已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）当时，求函数最大值.
【答案】（1）
（2）21
【解析】
【分析】（1）求导可得，可求切线方程；
（2）求导可得在上的单调性，从而可求结论.
【小问1详解】
因为，所以.
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
令，
因为，所以在单调递增，单调递减，
所以.
19. 已知抛物线，是轴上一点，是抛物线上任意一点.
（1）若，求的最小值；
（2）已知为坐标原点，若的最小值为，求实数的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意及抛物线的定义可得=到准线的距离，可得为抛物线的顶点时，的最小值为1.
（2）将表示为关于x的函数，结合二次函数的性质求得结果.
【详解】（1）当时，A（1，0）为抛物线的焦点，此时=到准线的距离，
∴当为抛物线的顶点时，到准线的距离最小为1，即的最小值为1.
（2）
的最小值为，即当时取得最小值，
所以，即.
【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了二次函数最值问题，考查了分析转化能力，属于基础题.
20. 某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.

（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
（2）求面积关于的函数解析式；
（3）试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.
【答案】（1）
（2），
（3）点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大.
【解析】
【分析】（1）先以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；
（2）分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积；
（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定D的位置.
【小问1详解】
以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，，

设曲线所在的抛物线方程为，，点，在抛物线上，
则，解得，，
所以曲线段所在的抛物线方程为.
【小问2详解】
因为点在曲线段上，，，所以，
∴，.
【小问3详解】
∵，，
令，解得，
当时，，当时，，
所以时，函数单调递增，时，函数单调递减，
因此，当时，是极大值也是最大值，
即当点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大.
21. 已知椭圆Γ：的右焦点坐标为，且长轴长为短轴长的倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点和，
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l经过点，且的面积为，求直线l的方程；
（3）若直线l的方程为，点关于x轴的对称点为，直线，分别与x轴相交于P､Q两点，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
分析】
（1）根据题意，结合的关系即可求得椭圆的方程；（2）设出直线l的方程为，与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出的面积并等于，求解的值，即可得直线l的方程；（3）由已知得的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线的方程，令，求出，即可得，并根据直线方程求出，然后相乘代入化简即可.
【详解】解：（1）由题意得，，
解得，，所以椭圆Γ的方程为.
（2）设点，的坐标为､，由题意可知，直线l的斜率存在
设直线l的方程为.
由方程组，得
所以，
解得.∴直线l的方程为
（3）由题意知点的坐标为
将，代入
得：，
∴，
对于直线，令得∴
对于直线：，令
得
，∴
.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．