上海市市西中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份上海市市西中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答邀等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）
1．角可以换算成 弧度．
2．已知角的终边过点，则角的余弦值为 ．
3．已知，，则角的终边在第 象限.
4．若，则 ．
5．已知，则 ．
6．已知，则角 ．
7．已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是 .
8．已知，则 .
9．把化成的形式是 ．
10．已知都为锐角，则的值为 .
11．在中，，则的形状是 ．
12．在中，角所对边分别为，若，则 ．
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）
13．是成立的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件
14．当时，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
15．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．B．C．D．
16．在中，已知，则下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．
三、解答邀（本大题共有5题，满分56分）
17．如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，点是单位圆上的一点，是坐标原点，，且且.

(1)求的值；
(2)求的值．
18．设分别是的三个内角所对的边，且，
(1)求；
(2)时，求的面积．
19．解决下列问题：
(1)已知，求值.
(2)已知，，求的值.
20．（1）上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：，老师给定了和值，该同学用错误的公式计算的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的和值分别是什么？（请写出至少三组答案）
（2）有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为，请问：是否存在某些和，可以让该同学继续“混对”答案？若存在和，请求出，若不存在，请说明理由.
21．某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米.
(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在上取点D､E､F，并且，，（如图1），游客要在内喂鱼，希望面积越大越好.设（米），用x表示面积S，并求出S的最大值；
(2)现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在上取点D､E､F，建造正走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好.设，用表示的周长L，并求出L的最小值.
1．
【分析】利用角度与弧度之间的换算关系可得结果.
【详解】.
故答案为：.
2．
【分析】
根据三角函数的定义，结合点的坐标，即可求得结果.
【详解】根据三角函数定义可得：，故角的余弦值为.
故答案为：.
3．三
【分析】
根据，，得到角的终边在第三象限.
【详解】，，
故角的终边在第三象限.
故答案为：三
4．
【分析】
利用诱导公式对所求进行化简，把条件代入求值即可.
【详解】
又，所以原式
故答案为：
5．##0.6
【分析】
将目标式化为齐次式，结合同角三角函数关系，即可求得结果.
【详解】因为，
则.
故答案为：.
6．或或或
【分析】
根据特殊角的三角函数值，结合题意，直接求解即可.
【详解】因为，则，
又，故或或或，
解得：或或或.
故答案为：或或或.
7．2
【分析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角.
【详解】设扇形的半径为，所对弧长为，则有，解得，故.
故答案为：2.
【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
8．
【解析】由题意得出，然后利用诱导公式可计算出的值.
【详解】，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题时要明确各角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
9．
【分析】
逆用两角和正弦公式即可得解.
【详解】由
.
故答案为：
10．
【分析】
首先利用角的变换得，再结合两角差的余弦公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解.
【详解】因为都是锐角，所以，
，，
所以.
故答案为：
11．等腰三角形
【分析】
由诱导公式及正弦定理化简后，由正弦函数的性质可得解.
【详解】由诱导公式可得，由正弦定理可得，
所以，
由，可得，即，
因为,
所以或（舍去），
故三角形为等腰三角形.
故答案为：等腰三角形
12．
【详解】
又A为锐角，所以A=
13．D
【分析】
判断和之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】当时，，此时，
即推不出成立；
当时，，此时，
即推不出成立；
故是成立的既非充分也非必要条件，
故选：D
14．B
【分析】
利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】由于，所以，
.
故选：B
15．D
【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.
【详解】，
由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，
在Rt△ABM中，AM＝＝，
在△ACM中，由正弦定理得＝，
所以CM＝＝，
在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.
故选：D.
16．D
【分析】由条件可得，然后逐一判断即可.
【详解】因为，所以
因为
所以，即，即
所以
当时可验证A，B，C不成立
因为，所以，故D正确
故选：D
17．(1)；
(2).
【分析】
（1）根据三角函数定义求得，结合同角三角函数关系由求得，再根据正弦的和角公式即可求得结果；
（2）根据（1）中所得求得，再根据二倍角的正切公式求得，进而由正切的差角公式即可求得结果.
【详解】（1）根据三角函数定义可得；
又，，则；
.
（2）由（1）可得，，
又，
故.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解；
（2）由正弦定理及三角形面积公式求解.
【详解】（1）在中，，故，
因为，所以由正弦定理可知，
由大边对大角可得，故，
所以.
（2）时，由正弦定理可得，，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】
（1）由诱导公式，，后利用可得答案；
（2）将平方后，可得，结合，可判断符号，平方后可得答案.
【详解】（1）
由诱导公式，，
又，则.
（2）
因，
则，
即一正一负，又，则，
即.又，
则.
20．（1）或，等；（2）不存在和能让该同学能继续“混对”.
【分析】（1）化简即得解；
（2）化简已知得，即得解.
【详解】解：由，
错误公式得，
当时，，
得，
所以或.
所以老师给出的可能是等.
【点睛】解：因为，
若该同学能继续“混对”，则，得到，显然无解，则不存在和能让该同学能继续“混对”.
21．(1)，平方米；
(2)（其中是满足的锐角），米.
【分析】（1）因为，则可求CE，BE，DE，求得，利用基本不等式可求的面积的最大值；
（2）设等边三角形边长为，在中，由正弦定理可得（其中是满足的锐角），即可求得的周长及其最小值．
【详解】（1）在中，，米，米，
所以，，
因为，，所以，
在中，因为，则，故，
所以在中，，
所以，
由基本不等式得，，
当且仅当，即时，等号成立，的面积有最大值平方米；
（2）设正的边长为，因为，
则，，
在中，，，
因为为平角，所以，
所以，
所以在中，，
整理得（其中是满足的锐角），
所以的周长，
当时，的周长有最小值米.