2023届上海市曹杨第二中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

2023届上海市曹杨第二中学高三上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．如果,那么下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的性质可知A,D错误,当时可知选项C错误,故可选出答案.

【详解】解:由题知,

,,

故选项A,D错误;

,

,

故选项B正确;

当时,

,

故选项C错误.

故选:B

2．“”是“函数在上是严格增函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据导数研究函数的单调递增区间，进而结合题意得在上是严格增函数时，，再结合充分不必要条件判断即可.

【详解】解：，

令得，

所以，①当时，和时，，为单调递增函数，此时要使函数在上是严格增函数，则，即；

②当时， 恒成立，在上单调递增，故满足函数在上是严格增函数；

③当时，和时，，为单调递增函数，此时要使函数在上是严格增函数，则满足，即；，

综上，要使“函数在上是严格增函数”，则.

因为是的真子集，

所以，“”是“函数在上是严格增函数”的充分不必要条件.

故选：A

3．已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则下列结论错误的是（    ）

A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为2

C．若AB⊥AF2，则 D．λ的取值范围是

【答案】D

【分析】根据椭圆的定义结合椭圆焦点弦的几何意义，可判断A,B两个选项，再设直线的方程与椭圆方程联立．利用韦达定理求解参数的值或取值范围，即可判断CD选项．

【详解】因为，所以，，三点共线，△周长是定值，所以A正确．

根据椭圆的性质知，当时，此时经过焦点的弦最短，故，所以B正确．

(证明如下：设，,，,．

联立，整理得，即，，

，

由于，所以,当且仅当时，取最小值2，此时)，

因为，在上下顶点处，不妨设，则，联立得．

解得或，，，所以C正确．

设，,，,．

联立，整理得．

即，，，

当时，．当时，，

所以，所以D错误．

故选：D．

4．已知函数，下列命题：①在上严格递增；②存在，使得函数为奇函数；③函数有且仅有2个零点.其中真命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据题意，对于①，求导即可判断；依据函数奇偶性的定义即可判断②；对于③，

由，时，，时，，即可判断.

【详解】对于①，由，

因为，则，，

则，所以在上严格递增，故①正确；

对于②，令为奇函数，则恒成立，

所以恒成立，则（负的舍去）满足要求，故②正确；

对于③，，，

当时，，则，

当时，，则，

可得函数有且只有一个零点，故③错误.

故选:C.

二、填空题

5．不等式的解集是________．

【答案】

【分析】原不等式等价于，解不等式组即可求出结果.

【详解】原不等式等价于，解得．

故答案为：

6．若复数（为虚数单位），则___________.

【答案】##

【分析】根据共轭复数的定义以及复数的乘法、加法运算即可求解.

【详解】由得，

所以，

故答案为：

7．已知，，且，则的最大值为_________

【答案】

【分析】直接由基本不等式求解．

【详解】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．

故答案为：．

【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题．

8．圆的圆心到直线：的距离   

【答案】3

【详解】试题分析：因为圆心坐标为(1,2)，所以圆心到直线的距离为．

【解析】点到直线的距离．

9．函数在上的单调递减区间为______.

【答案】

【分析】令解不等式，再结合范围即可.

【详解】令，解得，

令得，所以函数在上的单调递增区间为.

故答案为：.

10．展开式中的系数为__________．

【答案】14.

【详解】，在中，的项系数为，对的项系数为，∴的系数为．

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.

11．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________．

【答案】

【详解】分析：由已知中事件A、B互斥，由它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，可求，进而根据对立事件概率减法公式得到答案.

详解：事件A、B互斥，且P(A)＝2P(B)，

它们都不发生的概率为

解得，

,

.

故答案为.

点睛：本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，对立事件概率减法公式，难度不大，属于基础题.

12．若直线与曲线相切，则实数的值为___________.

【答案】

【分析】求出原函数的导函数，利用导函数值为求解切点坐标，再把切点坐标代入切线方程即可求解值．

【详解】由，得，

直线与曲线相切，，解得，则，

可得切点为，代入，得．

故答案为：

13．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的表面积为___________.

【答案】##

【分析】设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为，由外接球的定义，结合圆柱的几何性质，确定球心在线段上，即可在直角三角形上根据几何关系求出外接球半径，即可由公式算球的表面积．

【详解】由于AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，所以为直角三角形，，

如图所示，设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为，

由外接球的定义，，易得在线段上，

又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径，

，则，解得，

外接球表面积为．

故答案为：

14．双曲线右焦点为F，点P， Q在双曲线上，且关于原点对称． 若， 则的面积为______________．

【答案】4

【分析】由条件根据直角三角形的性质可得，由双曲线的定义及对称性可得，由此可求，再求的面积即可.

【详解】因为双曲线的方程为，所以，，，

设其左焦点为，右焦点

因为，关于原点对称，

所以，

又由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得,

所以，又，

所以，

所以，

故答案为：4.

15．如图，P为外接圆O上一个动点，若，，，则的最大值______.

【答案】

【分析】先利用余弦定理算出，外接圆的半径，设d是在上的投影，所以，然后作图画出在上的最大投影，即可求出答案

【详解】解：由余弦定理得，所以，

由正弦定理得外接圆半径，

解法1：设d是在上的投影，即，

则，

过点O作交圆于点P，且作于，于，如图所示，此时在上的投影最大，即最大

易得四边形是矩形，所以

则，所以的最大值为；

解法2：

连接，，

所以，

，

因为，所以

所以的最大值为，

故答案为：

16．已知集合，.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为______.

【答案】27

【分析】先假设刚好为，分析这种情况的，再考虑为等差构成的情况即可

【详解】设，则

由得，，

所以只需研究是否有满足条件的解，此时

，m为等差数列项数，且.由，，

∴，，于是满足条件的n最小值为27.

故答案为：27

【点睛】关键点点睛：本题需要分情况思考，先思考尾项刚好是2的幂的情况，然后在思考尾项为等差数列构成的情况

三、解答题

17．已知向量，且，

(1)求函数在上的值域；

(2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的数量积为求得解析式进而求得值域.

（2）利用余弦定理和基本不等式即可求得面积的最大值.

【详解】（1）由已知，，所以

所以，又因为

所以，所以，即

在上的值域为

（2）由（1）知：所以

，又

所以，所以，又因为 由余弦定理可得：

，所以

所以 ，当且仅当时取“=”

故面积的最大值为

18．如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面为中点.

(1)求证:平面;

(2)若,求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)连接与交于点,通过证明线线平行及线面平行的判定定理即可证明;

(2)由题上所给的长度及角度,和平面,根据余弦定理求出二面角中各个棱长,过分别在平面,平面中做的垂线,发现垂足为同一点,根据余弦定理求二面角的大小的余弦值,进而求出二面角的大小即可.

【详解】（1）证明:连接与交于点,连接如图所示:

为平行四边形,

为中点,

为平行四边形,

为中点,

为中点,

所以,

在平面外,平面,

平面;

（2）由题知,

是菱形,,,

在中由余弦定理得:

,

解得:,

平面,

,

由勾股定理可得:

,

是中点,

则在直角三角形中,,

,

在中,由余弦定理得:

,

在中,由余弦定理得:

,

,

,

,

,

与为全等的两个等腰三角形,

取中点为,连接, 如图所示:

,

即为二面角的大小,

,

,

,

在中由余弦定理得:

,

故二面角的大小为.

19．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.

(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；

(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

【答案】(1)

(2)当x=80时，所获利润最大值为1300万元

【分析】对于（1），由利润=售价成本，结合题目条件可得答案.

对于（2），由（1）解析式求最值即可.

【详解】（1）售价固定为，当产量不足60万箱时，

.

当产量不小于60万箱时，.

则.

（2）设

当时，.得在上单调递增，在上单调递减.则.

当时，由基本不等式有

当且仅当时取等号.又，得当x=80时，所获利润最大值为1300万元

20．如图，已知、为抛物线Γ：的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于.

(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；

(2)求证：、、成等差数列，、、成等比数列；

(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及面积的最小值.

【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为

(2)证明见解析

(3)，4

【分析】利用定义直接写即可

设切点，写切线方程，解出交点坐标即可证明

设AB中点为，容易证明平行与 轴，从而把分成两部分计算面积之和即可

【详解】（1）(1)抛物线的标准方程为,于是焦点坐标为,准线方程为。

（2）(2),所以

联立,得,而

于是,即

故成等差数列,成等比数列

（3）由于A,F,B三点共线,设

联立,得.

即动点的轨迹方程为

设AB中点为,则,即

当时取等所以面积的最小值为4

【点睛】关键点点睛：本题考查了阿基米德三角形的性质的证明.

21．已知定义域为的函数.当时，若（，）是增函数，则称是一个“函数”.

(1)判断函数（）是否为函数，并说明理由；

(2)若定义域为的函数满足，解关于的不等式；

(3)设是满足下列条件的定义域为的函数组成的集合：①对任意，都是函数；②，. 若对一切和所有成立，求实数的最大值.

【答案】(1)是，理由见解析

(2)

(3)

【分析】（1）将代入解析式，根据整理表达式，判断是否为增函数即可；

（2）由函数可知是上的增函数，有意义，需满足，显然时不等式不成立，设，转化不等式为，结合单调性即可判断；

（3）由题可知是函数，也是函数，结合已知函数值及函数单调性，可得当，或当时，，再讨论当，结合可判断，即满足当时，对一切成立.另证明任意均不满足要求：任意，定义函数满足条件②，满足条件①时符合，即可证明.

【详解】（1）是，理由：由题，

（，）为增函数，

故（）是函数.

（2）因为是函数，且，所以是上的增函数，

因为有意义，所以，显然，时不等式不成立，下设，

此时等价于，

由的单调性得，，即所求不等式的解集为.

（3）由题意，是函数，故是增函数，从而当时，，即；而是函数，故是增函数，从而当时，，即，

当时，同理可得，且，故且，故.

因此 ，当时，对一切成立.

下证，任意均不满足要求，由条件②知，.

另一方面，对任意，定义函数，容易验证条件②成立.

对条件①，任取，有，

注意到是增函数，

而对，当时，；当时，，均单调不减.

因为，

所以条件①成立.从而.此时，，

故，从而为所求最大值.

【点睛】关键点点睛：灵活利用已知函数值构造函数，借助函数的单调性来处理不等式问题.