福建省莆田锦江中学2024-2025学年高二下学期第一次（3月）月考 数学试题（含解析）

这是一份福建省莆田锦江中学2024-2025学年高二下学期第一次（3月）月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A. 0B. 1C. eD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】因为，所以，
根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为1.
故选：B
2. 已知函数，则（ ）
A. 有极小值，无极大值B. 既有极小值又有极大值
C. 有极大值，无极小值D. 无极小值也无极大值
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数判断三次函数的单调性，进而求出极值即可.
【详解】因为，所以，
令，，令，，
则在上单调递增，在上单调递减，
即极小值为，极大值为，
得到既有极小值又有极大值，故B正确.
故选：B
3. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ）
A. 的单调递减区间是
B. 的单调递增区间是，
C. 当时，有极值
D. 当时，
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误.
【详解】根据图象可知当时，，可得；
当时，，可得；
当时，，可得，且；
对于AB，易知时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误；
对于C，易知当时，，当时，，
即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误；
对于D，因为时，，可得，因此，即D错误.
故选：A
4. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将问题转化在上恒成立，利用基本不等式可得.
【详解】的定义域为，，
因为函数在其定义域内单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，所以.
故选：B
5. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，分析可知，直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】令，可得，
令，则直线与函数的图象有三个交点，
，令，可得或，列表如下：
如下图所示：
由图可知，当时，即当时，
直线与函数的图象有三个交点，
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
6. 已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记在上的零点为，结合导函数的图象可求出的单调区间，再根据可求出当时的正负，再结合偶函数的性质可求得不等式的解集.
【详解】记在上的零点为，
由在上的图象，知当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在唯一的零点是1，即，
所以当时，，当时，．
又为偶函数，所以当时，，当时，，
所以的解集为．
故选：B．
7. 已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，根据且可得答案.
【详解】构造函数 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，
故 ，
即 ，
即 .
同理， ，
即 .
故选 ： A.
8. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．
【详解】对A，，当时，，所以A错误；
对B，，在上恒成立，所以B正确；
对C，，，所以C错误；
对D，，，因为，所以D错误．
故选：B．
二、多选题：
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC
10. 已知函数则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的单调减区间为，
B. 函数的值域为
C. 若关于的方程有三个根，则
D. 若对于恒成立，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据分式函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图象，进而直接判断A和B；通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，并结合图象即可判断C，设函数，并求出与函数的切点的横坐标，结合图象分析时，直线斜率增大，此时函数满足在时处于直线下方，从而判断D.
【详解】（i）当时，，
则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有.
（ii）当时，，，
当在单调递增，
当在单调递减，
故， 且当时， ，，恒有.
综上可知，，
作出函数大致图象，如下图.
对于A，函数的单调减区间为，故A正确；
对于B，函数的值域为，故B错误；
对于C，方程有三个根，
则所以与有3个公共点，
由图象可知当时，与有3个交点，满足题意，
即的取值范围是，故C正确;
对于D，设函数为过定点直线，
且与函数的切点为，
则有① ，②，且③，
由①②得，
将③代入上式可得，即，
即，解得或（舍去），
，此时直线与函数相切，为临界情况；
当，直线斜率增大，此时函数满足在时，处于直线下方，
即对于恒成立，
因此，，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】总结点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对函数解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
11. 已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意，可以将问题转化为方程在区间内有唯一实数根，构造函数，，利用导数得在区间内单调递增，可得，进而确定答案.
【详解】由题意有方程在区间内有唯一实数根，
即方程在区间内有唯一实数根，令，
，所以在区间内单调递增，
所以，所以，
因为，，
故选：ABC
三、填空题：
12. 若函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数列方程，先求得，进而求得.
【详解】对求导，得，
所以，解得，
所以，将代入，可得
故答案为：
13. 已知曲线经过点，则过点的曲线C的切线方程是______
【答案】
【解析】
【分析】设切点为，利用求导得切线斜率，写出切线方程，将点代入求得，回代入切线方程即可.
【详解】因为曲线经过点，所以，解得，
则曲线方程为，，
设切点为，切线斜率为，由导数的几何意义得，
则切线方程为，又切线经过点，
则，解得，
则切线方程为，即.
故答案为：.
14. 已知有两个极值点，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】经求导转化可知，函数有两个极值点，等价于函数与的图象有两个交点.，故只需研究函数的图象即可求得参数范围.
【详解】由求导，，由可得：，
因不满足此式，故可得：，
则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点.
由求导，，则当时，，当时，，当时，
则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值.
且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，.
故可作出函数的图象如图.

由图可知：函数与的图象有两个交点等价于.
故答案为：.
四、解答题：
15. 已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】（1）对求导，根据极值点列方程组求参数即可.
（2）由（1）有，进而判断的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围.
【详解】（1）由题设，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
当时，，随的变化情况如下表：
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，又，则为在上最大值，
要使对任意恒成立，则只需，解得或，
∴实数的取值范围为．
16. 已知函数，若在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）求函数在上的极值．
【答案】（1）
（2）极大值，极小值
【解析】
【分析】（1）根据导数与切线方程的关系列式计算即可；
（2）求出函数的单调区间，根据单调区间确定函数在区间内的极值．
【小问1详解】
因为，所以，
由题意得，所以，；
故的解析式为
【小问2详解】
由（1）得，，
因为，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，
故当时，函数取得极小值
17. 如图（1），一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图（2），所得容器的容积V（单位：）是关于截去的小正方形的边长x（单位：cm）的函数.
（1）随着x的变化，容积V是如何变化的？
（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
【答案】（1）当时，函数单调递增；当时，函数单调递减．
（2）当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192
【解析】
【分析】（1）首先写出V关于x的函数解析式，然后利用导数研究函数的单调性即可求解；
（2）根据函数的单调性即可求得最大值及自变量的取值.
【小问1详解】
根据题意可得，由实际情况可知函数的定义域为.
根据导数公式表及导数的运算法则可得
，解方程，得，（舍），
令得，令得，
所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.
【小问2详解】
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
因此，是函数的极大值点也是最大值点，此时，
所以当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192.
18. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，函数在单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增；
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，讨论和两种情况导数的符号，进而可求函数的单调区间；
（2）将已知条件转化为恒成立，构造函数，求出，转化为成立，然后构造函数，借助导数判断的单调性，从而得出满足条件的的取值范围.
【小问1详解】
因为函数，
所以，
当时，，所以函数在单调递减，
当时，令，得，
当时，，所以函数单调递减，
当时，，所以函数单调递增，
综上所述，当时，函数在单调递减，
当时，函数上单调递减，函数在上单调递增；
【小问2详解】
若不等式恒成立，又
则有恒成立
设函数，则，
当时，，函数在上单调递减，
又，不合题意
当时，令，解得
当时，，所以函数单调递减，
当时，，所以函数单调递增，
所以，
由恒成立，则成立，
即成立
令，则
所以函数在上单调递增，
又，，
所以当时，成立.
综上所述，实数的取值范围为
【点睛】关键点：第（1）问的关键是分和讨论；第（2）问的关键是构造两个函数和，借助导数求出最值和单调性，即可得解.
19. 对数均值不等式在各个领域都有着重要应用．
（1）讨论，的单调性
（2）试证明对数均值不等式：
（3）设，试证明：
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.
（2）先进行转化：，；，.在利用（1）的结论证明.
（3）利用，可得，再累加求和即可.
【小问1详解】
在上恒成立，所以在上单调递增；
在上恒成立，所以在上单调递减.
【小问2详解】
不妨设
因为
设，，则问题转化为：，.
由（1）可知，函数在上单调递增，所以.
故，成立，所以： .
又因为.
由（1）知在上单调递减，所以，故，成立，所以.
所以：成立.
【小问3详解】
根据，
所以,
所以，成立.
增
极大值
减
极小值
增
1
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增