吉林省长春市吉大附中实验学校2025年高考数学一模试卷（含解析）

这是一份吉林省长春市吉大附中实验学校2025年高考数学一模试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={高，考，必，胜}，B={吉，大，必，胜}，则A∪B=( )
A. {吉，大，高，考}B. {必，胜}
C. {金，榜，题，名}D. {吉，大，高，考，必，胜}
2.已知a=(12,3)，b=(−2,13)，则a⋅b=( )
A. 0B. −2C. 2D. −4
3.(x−3y)5展开式中第3项的系数是( )
A. 90B. −90C. −270D. 270
4.在△ABC中，已知AB=2，AC=3，BC=4，则△ABC的面积是( )
A. 3 34B. 54C. 3 134D. 3 154
5.某人通过手机APP记录锻炼情况，得到11月份每天的锻炼时间(单位：ℎ)如下表：
据表中数据，下列结论一定正确的是( )
A. 30天锻炼时间的中位数不超过1.2ℎB. 30天锻炼时间的平均数不低于1.1ℎ
C. 30天锻炼时间的极差不超过2.5ℎD. 30天锻炼时间的众数不低于1.5ℎ
6.关于方程x2+xy+2y2=4所表示的曲线，下列说法正确的是( )
A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于y=x对称D. 关于原点中心对称
7.已知函数f(x)=x(x−a)2的极大值为116，则a=( )
A. −32B. −23C. 23D. 34
8.记函数f(x)=sin2x，x∈[0,π2]的图象为曲线段C，直线y=m与C交于A，B两点，直线y=6m与C交于D，E两点.若|AB|=2|DE|，则m=( )
A. 12B. 14C. 18D. 116
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复数范围内，方程z2+z+2=0的两个根分别为z1，z2，则( )
A. z1z2=−iB. z1+z2=−1C. z1=z2−D. |z1|=|z2|= 2
10.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为6，点P为线段A1B上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有( )
A. 三棱锥P−C1CD
B. 三棱锥P−B1D1D
C. 三棱锥P−D1B1C
D. 三棱锥P−D1AC
11.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是( )
A. 若|BF|=4|AF|，则直线l的斜率为±43 B. |AF|+4|BF|≥18
C. 0°0，且2a+b=1，则ab的最大值为______．
13.已知x1，x2是函数f(x)=cs3x−cs2x，x∈(0,π)的两个零点，则|x1−x2|= ______．
14.为激励高三学子的学习热情，数学老师开发了一款小游戏程序，同学们表现优秀时可参与一次.游戏规则如下：
第一步，在图①所示的棋盘内，学生点击摇奖，程序会随机放上7枚黑棋；
第二步，学生自行选择空格放上2枚白棋；
最终，每当有4枚棋子在同一行、列或对角线上时，称为连成一条线.若未连成线，则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况.现在小明和小红都可参与一次游戏.小明点击摇奖后，出现了图③的情况，若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是______；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7枚黑棋中恰有4枚在第一列”的条件下，她获一等奖的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}是由正数组成的等比数列，且a5=256，a3+a4=20a2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn=an+lg2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=csxex(e是自然对数的底数)．
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调增区间；
(2)若g(x)为f(x)的导函数，函数ℎ(x)=f(x)−(x−π2)g(x)，求ℎ(x)在[0,π]上的最大值．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面为菱形，∠DAB=60°，PB=PC= 3．
(1)证明：PD⊥AD；
(2)若AD=2，PD=1，求二面角A−PD−C的正弦值．
18.(本小题17分)
有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务.现在一共有A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3，且p1，p2，p3互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立．
(1)p1=0.1，p2=0.2，p3=0.3，如果按照A、B、C的顺序先后进入；
①求任务能被完成的概率；
②求所需派出人员数目X的分布列和数学期望；
(2)假定1>p1>p2>p3，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小．
19.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2 33，且C经过点P(2,1)．
(1)求C的方程；
(2)过曲线C上任意一点S作曲线C的切线l，设l与C的两条渐近线分别交于点Q，R，试讨论△OQR的面积是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由；
(3)将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记C上的所有格点为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P3(x3,y3)，…，且x10，b>0，且2a+b=1，
所以2a+b=1≥2 2ab，所以ab≤18，当且仅当2a+b=12a=b，即2a=b=12时，等号成立，
故ab的最大值为18．
故答案为：18．
直接利用基本不等式求解即可．
本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
13.2π5
【解析】解：根据和差化积公式得f(x)=cs3x−cs2x=−2sin3x+2x2sin3x−2x2=−2sin5x2sinx2，
则令−2sin5x2sinx2=0，得sinx2=0或sin5x2=0，
因为x∈(0,π)，则x2∈(0,π2)，
所以sinx2=0无解；
因为x∈(0,π)，则5x2∈(0,5π2)，
当sin5x2=0时，
则5x2=π或2π，
解得x=2π5或x=4π5，
则|x1−x2|=4π5−2π5=2π5．
故答案为：2π5．
利用和差化积公式得f(x)=−2sin5x2sinx2，再结合正弦函数性质即可得到答案．
本题考查了三角函数的性质，属于中档题．
14.19 27110
【解析】解：对于小明，在图③的情况下，再放2枚白棋形成两条线的不同情况有4种，
而样本空间共有C92=36种不同情况，所以小明获二等奖的概率是P1=436=19；
对于小红，9枚棋子形成三条线的形状(简称“三线”)必然由一行，一列，一对角线构成，
由于第一列已经确定，则当第一或第四行连上时，对角线还有1种情况；当第二行或三行连上时，
对角线还有2种情况，因此“三线“共有2×1+2×2=6种，由于小红总能保证奖励最大化，
则只需随机出来的形状恰好是“三线“去掉2枚棋子(简称“准三线”)即可，
于是从第一列外的5枚棋子中去掉2枚棋子形成的“准三线”，共6C52=60种，
但是，有一些“准三线“可以由多个“三线”得到：
第一列和第二行或三行形成的“准三线”，可以由2个不同的“三线”得到，重复计算的“准三线”有2×1=2次，
第一列和某一对角线形成的“准三线”，可以由3个不同的“三线”得到，重复计算的“准三线”有2×2=4次，
因此，“准三线”实际上只有60−4−2=54种，第一列之外随机放上3枚棋子的所有情况为C123种，
所以小红获得一等奖的概率P2=54C123=27110．
故答案为：19；27110．
求出在图③中再放2枚棋子形成两条线的情况种数即可得小明获奖概率；构建模型，结合排除法求出保证奖励最大化的结果数，再利用古典概率求解．
本题考查古典概型与条件概率相关知识，属于中档题．
15.解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由a3+a4=20a2，得a1q2+a1q3=20a1q，
∵{an}是由正数组成的等比数列，则a1>0，q>0，
则q2+q−20=0，解得q=4或q=−5(舍)，
又a5=256，
所以a1q4=256，解得a1=1，
所以an=a1qn−1=4n−1；
(2)bn=an+lg2an=4n−1+lg24n−1=4n−1+2n−2，
所以Tn=(1+0)+(4+2)+(16+4)+⋯+(4n−1+2n−2)
=(1+4+16+⋯+4n−1)+(0+2+4+⋯+2n−2)
=1×(1−4n)1−4+n(0+2n−2)2=4n3+n2−n−13．
【解析】(1)根据等比数列通项得a1q2+a1q3=20a1q，解出q，a1的值，即可得出其通项；
(2)根据题意得到bn=4n−1+2n−2，利用分组求和即可．
本题考查了等比数列的通项公式和分组求和，属于中档题．
16.解：(1)由函数f(x)=csxex，可得f′(x)=−sinx−csxex=−sin(x+π4)ex，
令f′(x)≥0，又[0,π]，
解得3π4≤x≤π，
所以f(x)的单调递增区间[34π ,π]；
(2)由函数ℎ(x)=f(x)−(x−π2)g(x)，
可得ℎ′(x)=f′(x)−g(x)−(x−π2)g′(x)=(π2−x)2sinxex，
因为x∈[0,π]，所以sinx≥0，
令ℎ′(x)√3yi，且y0x0>yixi，
所以x>0，y>0，故(x′,y′)也是C上的格点．
另一方面，因为x0∈(xi,xi+1)，y0∈(yi,yi+1)，
所以xi+ 3yi