吉林省长春吉大附中实验学校2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试 数学试卷

这是一份吉林省长春吉大附中实验学校2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试 数学试卷，共8页。
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写；字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合{高，考，必，胜}，{吉，大，必，胜}，则（ ）
A. {吉，大，高，考}B. {必，胜}
C. {金，榜，题，名}D. {吉，大，高，考，必，胜}
2. 已知，，则（ ）
A. 0B. C. 2D.
3. 展开式中第3项的系数是（ ）
A. 90B. -90C. -270D. 270
4. 已知，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
5. 某人通过手机记录锻炼情况，得到11月份每天的锻炼时间（单位：如下表：
据表中数据，下列结论一定正确的是（ ）
A. 30天锻炼时间的中位数不超过
B. 30天锻炼时间的平均数不低于
C. 30天锻炼时间的极差不超过
D. 30天锻炼时间的众数不低于
6. 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于对称D. 关于原点中心对称
7. 已知函数的极大值为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 记函数图象为曲线段，直线与交于两点，直线与交于两点.若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 在复数范围内，方程两个根分别为，，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（ ）
A. 三棱锥B. 三棱锥
C. 三棱锥D. 三棱锥
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线的斜率为
B.
C. （为坐标原点）
D. 当取最小值时，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，且，则的最大值为______．
13. 已知，是函数，的两个零点，则________．
14. 为激励高三学子的学习热情， 数学老师开发了一款小游戏程序， 同学们表现优秀时可参与一次. 游戏规则如下:
第一步， 在图①所示的棋盘内， 学生点击摇奖， 程序会随机放上 7 枚黑棋;
第二步， 学生自行选择空格放上 2 枚白棋;
最终， 每当有 4 枚棋子在同一行、列或对角线上时， 称为连成一条线. 若未连成线， 则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏. 小明点击摇奖后， 出现了图③的情况， 若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是_____；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7 枚黑棋中恰有 4 枚在第一列” 的条件下，她获一等奖的概率是_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列是由正数组成等比数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列前项和．
16. 已知函数（是自然对数的底数）
（1）求函数在上的单调增区间；
（2）若为的导函数，函数，求在上的最大值．
17. 如图，四棱锥的底面为菱形，，.
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的正弦值.
18. 有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立．
（1），，，如果按照、、的顺序先后进入；
①求任务能被完成的概率；
②求所需派出入员数目的分布列和数学期望；
（2）假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，请说明理由．
19. 已知双曲线的离心率为，且经过点．
（1）求的方程；
（2）过曲线上任意一点作曲线的切线，设与的两条渐近线分别交于点，，试讨论的面积是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由；
（3）将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记上的所有格点为，，，…，且，证明：为定值．
“兴酣落笔摇五岳，意气风发凌九霄”
2024—2025学年下学期高三年级
第一次模拟考试数学学科试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写；字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】BCD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【18题答案】
【答案】（1）①；②分布列见解析，数学期望为；
（2）先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小.
【19题答案】
【答案】（1）
（2）是定值，定值为；
（3）证明见解析.
锻炼时间
小于05
不小于2
天数
2
6
10
8
4