2025年四川省遂宁二中高考数学二模试卷（含答案）

这是一份2025年四川省遂宁二中高考数学二模试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，复数z满足zi=−2+i，则z−=( )
A. 1+2iB. −1+2iC. 1−2iD. −1−2i
2.已知集合A={−1,0,1}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=( )
A. {−1,0}B. {−1,1}C. {0,1}D. [0,1]
3.直线2x+ 2y+3=0的方向向量可以是( )
A. ( 2,1)B. ( 2,−1)C. ( 2,2)D. ( 2,−2)
4.等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2=2，4a1+a3=8，则S5=( )
A. 63B. 48C. 31D. 15
5.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(cs15°−sin15°,cs15°+sin15°)，则tanα=( )
A. 2− 3B. 2+ 3C. 6− 2D. 3
6.已知F1、F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，P为其左支上一点，且2|PF2|=3|PF1|，则双曲线C离心率的最大值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.已知甲植物生长了一天，长度为a(a>0)，乙植物生长了一天，长度为16a.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的32倍，乙每天的生长速度是前一天的23，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是( )(参考数据：取lg2=0.3，lg3=0.48)
A. 第6天B. 第7天C. 第8天D. 第9天
8.圆O半径为1，PA，PB为圆O的两条切线，A，B为切点，设∠APO=α，则2S△PABtan2α最小值为( )
A. −4+ 2B. −3+ 2C. −4+2 2D. −3+2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数据x1，x2，…，x6的平均数为10，方差为1，且y1=2x1+4(i=1,2,…,6)，则下列说法正确的是( )
A. 数据y1，y2，…，y6的方差为4
B. 数据x1，x2，…，x6，y1，y2，…，y6的平均数为17
C. 数据x1，x2，…，x6，10的平均数为10，方差大于1
D. 若数据x1，x2，…，x6的中位数为m，75%分位数为n，则m0，f(x)=22x+x2，则x0，则x1+x2>0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=ln(x+1)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为______．
13.已知F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，过F1作圆O：x2+y2=b2的切线与椭圆C在第二象限交于点M，且cs∠F1MF2=−35，则椭圆C的离心率为______．
14.若(x2−2x+2)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，则a5= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
某公司拟通过摸球的方式给员工发放节日红包，在一个不透明的袋子中装有5个标有红包金额的球，其中2个球分别标注40元，2个球分别标注50元，1个球标注60元，这5个球除标注的金额外完全相同.每名员工从袋中一次摸出1个球，共摸n次，摸出的球上所标注的金额之和为该员工所获得的红包金额．
(Ⅰ)若n=1，求一名员工所获得的红包金额不低于50元的概率；
(Ⅱ)若n=2，且每次摸出的球放回袋中，设事件A为“一名员工所获得的红包金额不大于100元”，事件B为“一名员工所获得的红包金额不小于100元”，试判断A，B是否相互独立，并说明理由．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3−3lnx，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数g(x)=f(x)−f′(x)−9x的单调区间和极值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，所有棱长都相等，AB⊥AD，E，F分别是棱PC，PB的中点，G是棱AB上的动点，且AG=λAB．
(1)若λ=12，证明：GF//平面BDE．
(2)求平面BDE与平面PDG夹角余弦值的最大值．
18.(本小题15分)
已知，点F，P分别是抛物线τ：x2=2py(p>0)的焦点与曲线上一动点，点A(1,2)在抛物线上方，且△PAF的周长最小值为 2+3．
(1)求抛物线τ的方程；
(2)点B，C是抛物线上的动点，点D是点B，C处抛物线切线的交点，若△BCD的面积等于32，线段GH为圆x2+(y−1)2=1的直径，求DG⋅DH的取值范围．
19.(本小题17分)
设{an}是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为Sn．
(1)若 an⋅an+2=an+1对任意n∈N∗都成立，且2Sn+1=Sn+2．
①求数列{an}的通项公式；
②已知首项为x1，公比q满足|q|0，
x1x2=4y0，x1+x2=2x0，
则|x2−x1|= 4x02−16y0=2 x02−4y0．
作DD′//y轴交线段BC于点D′，则点D′的横坐标为x0，代入直线BC的方程有x02=2yD′+2y0，
解得yD′=x02−2y02=x022−y0，
所以DD′=yD′−yD=x022−2y0，
所以S△BCD=12DD′|x2−x1|=12(x022−2y0)⋅2 x02−4y0=32，
解得x02−4y0=16，
所以y0=x02−164≥−4．
易知点F恰为圆x2+(y−1)2=1的圆心，由极化恒等式得DG⋅DH=(DF+FG)⋅(DF+FH)=|DF|2−1．
因为|DF|2=x02+(y0−1)2=y02+2y0+17,y0∈[−4,+∞),
所以|DF|2的取值范围是[16,+∞)，
所以DG⋅DH的取值范围是[15,+∞)．

19.解：(1)①设{an}是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为Sn．
(1)若 an⋅an+2=an+1对任意n∈N∗都成立，且2Sn+1=Sn+2．
两边平方可得an⋅an+2=an+12，且an>0，所以an+2an+1=an+1an，
则数列{an}是等比数列，又2Sn+1=Sn+2，n∈N∗，n≥2，2Sn=Sn−1+2，
作差得2an+1=an，n∈N∗，n≥2，所以an+1an=12，
又数列{an}为等比数列，故数列{an}的公比为12，
又因为2S2=S1+2，所以2(a1+12a1)=a1+2，所以a1=1，
所以{an}是以1为首项，12为公比的等比数列，
所以an=1×(12)n−1=(12)n−1；
②已知首项为x1，公比q满足|q|0，所以q1qn+1,q2qn,q3qn−1,⋯qn2qn2+2∈(0,1]，又(qn2+1)0=1，
所以(q1qn+1)n(q2qn)n−2(q3qn−1)n−4⋯(qn2qn2+2)2(qn2+1)0≤1成立；
若n为奇数，只需证(q1qn+1)n(q2qn)n−2(q3qn−1)n−4⋯(qn+12qn+32)≤1，
因为qn+1≥qn≥⋯≥q2≥q1>0，所以q1qn+1,q2qn,q3qn−1,⋯qn+12qn+32∈(0,1],
所以(q1qn+1)n(q2qn)n−2(q3qn−1)n−4⋯(qn+12qn+32)≤1成立；
综上可知，对任意n∈N∗，不等式(a1an+2)12≥(a2a3⋯an+1)1n都成立． x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,+∞)
g′(x)
+
0
−
0
+
g(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增