四川省遂宁市第二中学校2024−2025学年高三下学期二模考试数学试题

这是一份四川省遂宁市第二中学校2024−2025学年高三下学期二模考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知i为虚数单位，复数z满足zi＝－2＋i，则＝（ ）
A．1＋2iB．－1＋2iC．1－2iD．－1－2i
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．直线的方向向量可以是（ ）
A．B．C．D．
4．等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．63B．48C．31D．15
5．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知、分别为双曲线：（，）的左右焦点，为其左支上一点，且，则双曲线离心率的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取）
A．第6天B．第7天C．第8天D．第9天
8．圆O半径为1，为圆O的两条切线，A，B为切点，设，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数据的方差为4
B．数据的平均数为17
C．数据的平均数为10，方差大于1
D．若数据的中位数为分位数为，则
10．如图，在正四面体中，分别为侧棱上的点，且，为的中点，为四边形内（含边界）一动点，，则（ ）

A．
B．五面体的体积为
C．点的轨迹长度为
D．与平面所成角的正切值为
11．对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“比翼函数”.则下列说法正确的是（ ）
A．函数是“比翼函数”
B．若函数在上为“比翼函数”，则
C．若函数在上为“比翼函数”，当，，则，
D．若函数在上为“比翼函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调递减函数，记，若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的图象在点处的切线方程为 .
13．已知、分别为椭圆：（）的左右焦点，过作圆：的切线与椭圆在第二象限交于点，且，则椭圆的离心率为 ．
14．若，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某公司拟通过摸球的方式给员工发放节日红包，在一个不透明的袋子中装有5个标有红包金额的球，其中2个球分别标注40元，2个球分别标注50元，1个球标注60元，这5个球除标注的金额外完全相同．每名员工从袋中一次摸出1个球，共摸n次，摸出的球上所标注的金额之和为该员工所获得的红包金额．
(1)若，求一名员工所获得的红包金额不低于50元的概率；
(2)若，且每次摸出的球放回袋中，设事件A为“一名员工所获得的红包金额不大于100元”，事件B为“一名员工所获得的红包金额不小于100元”，试判断A，B是否相互独立，并说明理由．
16．已知函数，为的导函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值．
17．如图，在四棱锥中，所有棱长都相等，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，且.
(1)若，证明：平面.
(2)求平面与平面夹角余弦值的最大值.
18．已知，点分别是抛物线的焦点与曲线上一动点，点在抛物线上方，且的周长最小值为．

(1)求抛物线的方程；
(2)点是抛物线上的动点，点是点处抛物线切线的交点，若的面积等于32，线段为圆的直径，求的取值范围．
19．设是各项均为正数的无穷数列，其前项和为.
(1)若对任意都成立，且.
①求数列的通项公式；
②已知首项为，公比满足的无穷等比数列，当无限增大时，其前项和无限趋近于常数，则称该常数为无穷等比数列的各项和.现从数列中抽取部分项构成无穷等比数列，且的各项和不大于，求的最大值.
(2)若对任意都成立，试证明：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】解：因为 zi＝－2＋i，，所以＝.
故选：C
2．【答案】C
【详解】因为，，
所以，
故选：C
3．【答案】D
【详解】的方向向量是与向量共线的向量，故D符合,
故选：D
4．【答案】C
【详解】令等比数列的公比为，则，，
解得，，所以.
故选:C
5．【答案】D
【详解】,
,
即，则，
故选：D.
6．【答案】C
【详解】由双曲线的定义可知，对于双曲线，.
已知，即.
将代入，可得.
化简得，所以，那么.
因为为双曲线左支上一点，有.
已知，，且，
所以. 即，化简得.
双曲线的离心率，且.
由可得，所以.
则双曲线离心率的最大值为.
故选：C
7．【答案】C
【分析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，乙植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为，，依题意得到，的通项公式，即可求出，，再由得到，最后根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得.
【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，乙植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为，（即天后树的总长度），
则，，
所以，
，
由，可得，
即，即，
解得或（舍去），
由则，因为，
即，又，所以的最小值为.
故选：C.
8．【答案】D
【详解】因为为圆O的两条切线，所以，，
所以，所以，，
，
所以
设，因为，所以，则，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
9．【答案】AB
【详解】对于A：数据的方差为，A选项正确；
对于B：数据的平均数为，B选项正确；
对于C：数据的平均数为，
方差，C选项错误；
对于D：若取数据，平均数为10，方差为1，
则中位数为，因为，所以第5个数为分位数，
所以，D选项错误.
故选：AB.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，取的中点，连接，依题意，是正的重心，则点在上，
由平面，得平面，
而平面，则，又，，
，在中，由余弦定理得，
显然，则，而平面，
则平面，又平面，所以，A正确；

对于B，由选项A知，正四面体的高，由已知，
平面平面，则平面，同理平面，
又平面，于是平面平面，
四面体为正四面体，高为，，因此五面体的体积：
，B正确；
对于C，由选项A知，，则，而，
以线段为直径的半圆交于，点的轨迹是此半圆在四边形及内部的弧和弧，
显然是的中点，而，，因此，
点的轨迹长度为，C错误；
对于D，由选项C知，是与平面所成角，，D正确.
故选：ABD
11．【答案】ACD
【详解】对于A，对于，则，
所以，
则函数是“比翼函数”，故A正确；
对于B，取，则，
所以，
此时在上为“比翼函数”，但，故B错误；
对于C，当时，，所以，故C正确；
对于D，因为函数是上的“比翼函数”，其函数值恒大于0，
且在上是单调递减函数，所以，
任取且，则，
所以，，
所以
，所以函数为上的增函数，
因为，故函数为上的奇函数，
当时，即，
则，所以，故D正确.
故选：ACD
12．【答案】
【详解】因为，得，则，
所以切线的方程为，即.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】过作交于点，
由于，故,
设，则，，
设切点为，由于,故，
由于是的中点，故是的中点，
则，所以，
又，则，，故．
故答案为：
14．【答案】
【详解】表示个因数的乘积.而为展开式中的系数，设这个因数中分别取、、这三项分别取个，所以，若要得到含的项，则由计数原理知的取值情况如下表：
由上表可知.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)A，B不相互独立，理由见解析
【详解】（1）一名员工所获得的红包金额不低于50元，即获得50元或60元，
故所求概率为．
（2）由题意，事件AB表示“一名员工所获得的红包金额为100元”．
因为，
所以 ．
“一名员工所获得的红包金额为80元或90元或100元”，
因为，
所以．
“一名员工所获得的红包金额为100元或110元或120元，
因为，
所以．
所以，
所以A，B不相互独立．
16．【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）因为的定义域为，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）依题意，，则，
令，解得或．
当变化时，，的变化情况如表所示：
函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．
故的极小值为，的极大值为．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，记，连接.
因为四边形是正方形，所以是的中点，
因为是的中点，所以.
因为分别是棱的中点，所以，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）四边形为菱形，所以，
由平面，、平面，得，，
故以为原点，分别以，，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，，
从而，，，.
因为，所以，
则.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则
令，得.
设平面与平面的夹角为(为锐角)，
则.
因为，所以，
所以，
则当时，平面与平面夹角的余弦值取得最大值.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，过点向准线作垂线交准线于点，交抛物线于点，连接，则有，
可知当点运动到点的位置时，的周长最小，
最小值为，解得，
所以抛物线的方程为．

（2）由（1）知，则，
设点．
因为为切点，则在点处的切线方程为，且满足．
同理，在点处的切线方程为，且满足，
所以直线为（题眼），
联立消去整理得，
所以，
，
则．
作轴交线段于点，则点的横坐标为，代入直线的方程有，
解得，
所以，
所以，
解得，
所以．
易知点恰为圆的圆心，由极化恒等式得．
因为，
所以的取值范围是，
所以的取值范围是．

19．【答案】(1)；
(2)证明见解析
【详解】（1）①因为对任意都成立，所以，且，所以，
则数列是等比数列，又，
作差得，，所以，
又数列为等比数列，故数列的公比为，
又因为，所以，所以，
所以是以1为首项以为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为；
②因为，设数列，公比为，其中，
则数列的各项和等于，所以，
又因为，所以，
当时，由，得，
即时满足题意，所以；
（2）记，，因为 对任意都成立，且，
得，即，
要证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
若为奇数，只需证，
因为，所以，
所以成立；
若为偶数，只需证，
因为，所以，又，
所以成立；
综上可知，对任意，不等式都成立.个
个
个
0
5
0
1
3
1
2
1
2
1
2
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增