2025年陕西省西安市西工大附中高考数学第八次适应性试卷（含解析）

这是一份2025年陕西省西安市西工大附中高考数学第八次适应性试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=14x2的焦点坐标是( )
A. (116,0)B. (0,116)C. (0,1)D. (1,0)
2.欧拉公式eiθ=csθ+isinθ(其中i为虚数单位)是由瑞士数学家欧拉发现的.若复数z=2ei5π6，则1z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知{an}是无穷数列，a1=3，则“对任意的m，n∈N∗，都有am+n=am+an”是“{an}是等差数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知平面向量a，b满足a=(1, 3)，|b|= 3，|a−b|= 3，则b在a上的投影向量为( )
A. (2 33,2)B. (12, 32)C. (23,2 33)D. (1, 3)
5.对函数y=f(x)，若数列{xn}满足xn+1=xn−f(xn)f′(xn)，则称{xn}为牛顿数列.若函数f(x)=x2，数列{xn}为牛顿数列，且x1=2，an=lg2xn，则S10=( )
A. 20B. −35C. 30D. −55
6.已知n是数据1，6，2，3，2，5，7的第70百分位数，若(x+1)n=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+…+an(x−1)n，则a2=( )
A. 80B. 10C. −10D. −80
7.某个简谐运动可以用函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|3.841=χ0.05，可以推断两变量有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05
C. 随机变量X∼B(n,p)，若E(2X+1)=31，D(2X+1)=15，则n=20
D. 用y=cekx拟合一组数据时，经z=lny代换后得到的回归直线方程为z=0.3x+4，则c=e4，k=0.3
10.在棱为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在线段BD上运动，点F在正方体表面上，O为AC与BD的交点，则( )
A. 四面体E−AB1D1的体积为定值B. 存在点E，使A1E⊥C1O
C. 当FA=FB时，点F的轨迹长度为4D. 四面体A1−ABO外接球的表面积为π
11.已知函数f(x)=cs(sinx)−sin(csx)，则( )
A. f(x)图象关于y轴对称B. 2π是y=f(x)的一个周期
C. f(x)在(0,π)单调递减D. f(x)图象恒在x轴的上方
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.随机变量X服从正态分布ξ～N(10,σ2)，P(8≤ξ≤10)=a，P(ξ>12)=b，则1a+2b的最小值为______．
13.已知P(A)=0.4，P(A|B)=0.8，P(A|B−)=0.3，则P(B)= ______．
14.已知直线l分别与曲线f(x)=lnx，g(x)=ex相切于点(x1,lnx1)，(x2,ex2)，则1x1−2x2−1的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，BC=3 2，∠BAC=π3．
(1)若AC=2 3，求sinC；
(2)若D为边BC上的点且AD平分∠BAC，AD= 3，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+12a(x−1)2．
(1)当a=−12时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)=f(x)−2x+1有两个极值点x1，x2，且g(x1)+g(x2)≥−1−32a，求a的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠ADC=90°，AB//CD，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM/​/平面PAD．
(2)已知PD=1．
(i)求平面PDB与平面BDM夹角的余弦值．
(ii)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69？若存在，求出PQQA的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分.独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．
(1)设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望；
(2)若投掷n次骰子，记合计得分恰为n+1分的概率为Pn，求i=1nPi；
(3)设最终得分为n分的概率为Pn，求数列{Pn}的通项公式．
19.(本小题17分)
通过研究，已知对任意非零平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcsθ−ysinθ,xsinθ+ycsθ)，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P．
(1)已知平面内点A(− 3,2 3)，点B( 3,−2 3)，把点B绕点A逆时针旋转π3得到点P，求点P的坐标；
(2)已知曲线C是函数y= 33x+1x的图象，它是某双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)绕原点O逆时针旋转π3后得到的，求C的离心率；
(3)已知曲线E：x2+y2−xy=1是由某椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)绕原点O逆时针旋转π4后所得到的斜椭圆，过点Q( 23, 23)作与两坐标轴都不平行的直线l1交曲线E于点M、N，过原点O作直线l2与直线l1垂直，直线l2交曲线E于点G、H，判断 2|MN|+1|OH|2是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由．
答案解析
1.C
【解析】解：由抛物线y=14x2可得x2=4y，故焦点坐标为(0,1)
故选C．
2.C
【解析】解：z=2ei5π6=2(cs5π6+isin5π6)=− 3+i，
所以1z=(− 3−i)(− 3+i)(− 3−i)=− 3−14=− 34−14i，
所以1z在复平面内对应的点为(− 34,−14)，位于第三象限．
故选：C．
根据欧拉公式写出复数的代数形式，再由复数的除法运算，进而确定对应点，即可得答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.A
【解析】解：对任意的m，n∈N∗，都有am+n=am+an，
令m=1，可以得到an+1=an+a1，因此{an}是公差为a1=2的等差数列；
若an=2n+1，则a3=7，a2=5，a1=3，可得a2+1≠a1+a2，
故“对任意的m，n∈N∗，都有am+n=am+an”是“{an}是等差数列”的充分不必要条件．
故选：A．
根据充分性和必要性的判断，直接论证即可．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
4.B
【解析】解：因为a=(1, 3)，所以|a|= 12+( 3)2=2，
因为|b|= 3，|a−b|= 3，所以a2−2a⋅b+b2=3，
即4−2a⋅b+3=3，解得a⋅b=2，
所以b在a上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=12a=(12, 32)．
故选：B．
根据平面向量的数量积运算及投影向量的定义计算即可求得．
本题考查了平面向量的数量积运算及投影向量的求法，属于基础题．
5.B
【解析】解：根据题意：若数列{xn}满足xn+1=xn−f(xn)f′(xn)，
则称{xn}为牛顿数列．
因为f(x)=x2，所以f′(x)=2x，则xn+1=xn−f(xn)f′(xn)=xn−xn22xn=12xn，
又因为x1=2，且xn>0，所以{xn}是首项为x1=2，公比q=12的等比数列，
xn=x1(12)n−1=(12)n−2，an=lg2xn=lg2(12)n−2=2−n，
则S10=10(1−8)2=−35．
故选：B．
根据题意，求得xn+1=12xn，得到{xn}是等比数列，求得xn=(12)n−2，再得出an=2−n结合等差数列求和即可．
本题考查数列的应用，涉及数列的递推与计算，属于中等题．
6.A
【解析】解：数据从小到大排序为1，2，2，3，5，6，7，
因为7×70%=4.9，
所以第70百分位数为5，即n=5，
则(x+1)5=(x−1+2)5=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+an(x−1)5，
所以a2=C5323=80．
故选：A．
由百分位数的概念求得n，再由二项式定理通项公式求解即可；
本题主要考查了百分位数的定义，考查了二项式定理的应用，属于基础题．
7.C
【解析】解：由图知f(0)=sinφ=−12，由图象知φ=−π6+2kπ,k∈Z，
又|φ|0)，
A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x=my+2(m>0)y2=8x，
可得y2−8my−16=0，
则y1+y2=8m，
则x1+x2=m(y1+y2)+4=8m2+4，
故|AB|=x1+x2+p=8m2+8=9，
解得m= 24，
故y2−2 2y−16=0，
即(y−4 2)(y+2 2)=0，
解得y1=4 2,y2=−2 2，
故A(4,4 2),B(1,−2 2)，
如图，建立空间直角坐标系，过A作AN⊥平面xOy于N，过N作NH⊥x轴于H，连接AH，
由于AN⊥x轴，且NH⊥x轴，AN∩AH=A，
故x轴⊥平面ANH，
因为AH⊂平面ANH，
故AH⊥x轴，则∠AHN=60°，
由于在直角坐标系中A(4,4 2),B(1,−2 2)，
故OH=4,AH=4 2，
因此在直角三角形ANH中，
HN=12AH=2 2,AN= 32AH=2 6，
因此在空间直角坐标系中，
A(4,−2 2,2 6),B(1,−2 2,0)，
故|AB|= (4−1)2+02+(2 6)2= 33，
故选：B．
9.BCD
【解析】解：若两个具有线性相关关系的变量，其相关性越强，
则样本相关系数r的绝对值越接近1，故A错误；
B.依据独立性检验相关知识可知B正确；
C.随机变量X∼B(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1−p)，
若E(2X+1)=31，D(2X+1)=15，
则E(2X+1)=2E(X)+1=2np+1=31，D(2X+1)=4D(X)=4np(1−p)=15，
解得n=20,p=34，故C正确；
D.由y=cekx得lny=ln(cekx)=kx+lnc，又因z=0.3x+4，则k=0.3，lnc=4，得c=e4，故D正确．
故选：BCD．
根据相关系数和独立性检验相关知识可判断AB；利用二项分布的期望和方差公式以及E(2X+1)=2E(X)+1和D(2X+1)=4D(X)等公式可判断C；取对数将非线性方程化为线性方程可判断D．
本题主要考查概率的知识，属于基础题．
10.AC
【解析】解：对于选项A，易知BD/​/B1D1，又B1D1⊂面AB1D1，BD⊄面AB1D1，
所以BD/​/面AB1D1，又E在BD上，所以E到面AB1D1的距离为定值，
又△AB1D1的面积为定值，所以四面体E−AB1D1的体积为定值，故选项A正确；
对于选项B，如图，建立空间直角坐标系：
则A1(1,0,1),C1(0,1,1),O(12,12,0)，
设E(t,t,0)(0≤t≤1)，
所以A1E=(t−1,t,−1),C1O=(12,−12,−1)，
所以A1E⋅C1O=t2−12−t2+1=12≠0，
所以A1E⊥C1O不成立，故选项B错误；
对于选项C，当FA=FB时，则点P在过AB中点且与AB垂直的平面上，又点F在正方体表面上，
所以点F的轨迹为正方形MNKQ，如图所示，故点F的轨迹长度为4，所以选项C正确；
对于选项D，因为△AOB是直角三角形，所以△AOB外接圆圆心为M，
则四面体A1−ABO外接球的球心在线段QM中点处，所以R= 14+14= 22，
所以所求球的表面积为4πR2=2π，故选项D错误．
故选：AC．
对于A，利用正方体的性质可得BD/​/B1D1，利用线面平行的判定定理得BD/​/面AB1D1，从而有E到面AB1D1的距离为定值，即可求解；对于B，建立空间直角坐标系，利用线线垂直的向量法，即可求解；对于C，根据条件得点F的轨迹为正方形MNKQ，即可求解；对于D，利用截面圆的性质，得球心在线段QM中点处，求出球的半径R，即可求解．
本题考查立体几何的综合应用，属中档题．
11.ABD
【解析】解：函数f(x)=cs(sinx)−sin(csx)的定义域为R，
又f(−x)=cs(sin(−x))−sin(cs(−x))
=cs(−sinx)−sin(csx)=cs(sinx)−sin(csx)=f(x)，
∴函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确；
∵f(x+2π)=cs(sin(x+2π))−sin(cs(x+2π))=cs(sinx)−sin(csx)=f(x)，
∴由周期函数的定义可知，2π是y=f(x)的一个周期，故B正确；
∵f(0)=cs(sin0)−sin(cs0)=1−sin1，
f(π)=cs(sinπ)−sin(csπ)=1+sin1，
又sin1>0，∴f(0)0，分
所以方程φ(x)=0在区间(0,+∞)上有两个正根，
由x1+x2=a+2a，x1x2=1a，
得g(x1)+g(x2)=lnx1+12a(x1−1)2−2x1+1+lnx2+12a(x2−1)2−2x2+1
=ln(x1x2)+12a[(x1+x2)2−2x1x2−2(x1+x2)+2]+2(x1+x2)+2
=ln1a+12a[(a+2a)2−2a−2⋅a+2a+2]−2⋅a+2a+2=ln1a+12a−2a−1≥−1−32a，
即lna−12(a−1a)≤0，分
令m(a)=lna−12(a−1a)，
则m′(a)=1a−12(1+1a2)=−(a−1)22a2≤0，
所以m(a)在区间(0,+∞)上单调递减，且m(1)=0，
故a的取值范围是[1,+∞)分
【解析】(1)当a=−12时，f′(x)=−(x−2)(x+1)2x，当x∈(0,2)时，f′(x)>0，当x∈(2,+∞)时，f′(x)