陕西省西安市西北工业大学附属中学2026届高三上学期第二次适应性训练数学试卷（含答案）

这是一份陕西省西安市西北工业大学附属中学2026届高三上学期第二次适应性训练数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.1+2x5的展开式中，含x3的项的系数是( )
A. 20B. 40C. 80D. 160
2.设公差d≠0的等差数列an中，a3，a5，a8成等比数列，则a1+a3+a5a1+a4+a7=( )
A. 54B. 34C. 45D. 43
3.已知z=m2−1+m2−3m+2i(m∈R,i为虚数单位)，则“m=−1”是“z为纯虚数”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数fx=xe−x+ex2+csx的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0，给出定义：设f′x是函数y=fx的导数，f′′x是函数f′x的导数，若方程f′′x=0有实数解x0，则称x0,fx0为函数y=fx的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数fx=23x3−x2−12x+496，则f12026+f22026+f32026+⋯+f20252026=( )
A. 2025B. 2026C. 4050D. 4052
6.已知双曲线C:x2a2−y2=1(a>0)，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若|MA|·|MB|=34，则双曲线C的离心率为( )
A. 54B. 2 33C. 2D. 43
7.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=lnx+4的切线，则k=( )
A. 12B. 2C. ln2D. 2ln2
8.定义在R上的函数fx满足对任意的x1,x2,x1≠x2，有x1−x2fx1−fx2fb>fcB. fc>fb>fa
C. fb>fc>faD. fc>fa>fb
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，如下判断正确的是( )
A. 若a⋅csA=b⋅csB，则▵ABC为等腰三角形
B. 若A>B，则sinA>sinB
C. 若▵ABC为锐角三角形，则sinA>csB
D. 若满足条件A=π6,c=2的▵ABC有两个，则a的取值范围为1,2
10.如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是( )
A. 存在某个位置，使得CN⊥AB1
B. 翻折过程中，CN的长是定值
C. 若AB=BM，则AM⊥B1D
D. 若AB=BM=1，则当三棱锥B1−AMD的体积最大时，三棱锥B1−AMD的外接球的表面积是4π
11.已知函数fx=ex+x−2和gx=lnx+x−2的零点分别x1，x2，则下列结论正确的是( )
A. x1+x2=2B. x1lnx2+x2lnx1 e2D. x2lnx2−x1lnx10上的一点Nx,3到焦点F的距离为4,P为C上一动点，Q为圆M：x−32+y+32=4上一动点，则点P到直线l：y=−p2的距离与PQ之和的最小值为 ．
14.现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥P−ABCD的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有 种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，∠BAC=30∘，A1A=A1C=AC=4，E,F分别是AC,A1B1的中点．

(1)证明：A1E⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知函数fx=12x2−ax+a−1lnx，a>1．
(1)讨论函数fx的极值点情况；
(2)设a=2，若对任意x1,x2∈(0,+∞)，x1≠x2，有fx1−fx2x1−x2>b恒成立，求实数b的取值范围．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，动圆C与圆C1：x2+y2+2x−454=0内切，且与圆C2：x2+y2−2x+34=0外切，记动圆C的圆心的轨迹为H．
(1)求轨迹H的方程；
(2)设O为坐标原点，过点C2且与坐标轴不垂直的直线与轨迹H交于P,Q两点.线段OC2上是否存在点Nn,0，使得QP⋅NP=PQ⋅NQ？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分视为100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：
(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布Nμ,δ2，其中μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)，δ2=180，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数(结果四舍五入精确到个位)；
(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是12，答对最后一题的概率为23，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．(参考数据： 180≈13.4；若X∼Nμ,δ2，则Pμ−δ0，fx单调递增；在1,a−1上f′xb恒成立，等价于fx1−bx1>fx2−bx2恒成立，
令gx=fx−bx=12x2−(2+b)x+lnx，x∈(0,+∞)，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以g′x=x−(2+b)+1x≥0在(0,+∞)上恒成立，即b≤x+1x−2在(0,+∞)上恒成立，
由均值不等式x+1x≥2 x⋅1x=2(当且仅当x=1时取等号)，
所以x+1x−2≥0，则b≤0，故实数b的取值范围是−∞,0．

17.解：(1)设圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，Cx,y，圆C的半径为r，
因为C1：(x+1)2+y2=494，C2：(x−1)2+y2=14
所以C1−1,0，r1=72，C21,0，r2=12，
所以 (x−1)2+y2=r+12 (x+1)2+y2=72−r，所以 (x−1)2+y2+ (x+1)2+y2=4，
所以点C的轨迹是以−1,0，1,0为焦点，4为长轴长的椭圆，b2=a2−c2=4−1=3，
故轨迹H的方程为x24+y23=1；
(2)设直线PQ的方程为y=k(x−1)，k≠0，代入x24+y23=1，得3+4k2x2−8k2x+4k2−12=0，Δ=−8k22−43+4k24k2−12>0恒成立，
设Px1,y1，Qx2,y2，线段PQ的中点为R(x3,y3)，
则x3=x1+x22=4k23+4k2，y3=k(x3−1)=−3k3+4k2，
由QP⋅NP=PQ⋅NQ，得PQ⋅(NQ+NP)=PQ⋅(2NR)=0，
所以直线NR的方程为y+3k3+4k2=−1k(x−4k23+4k2)，
令y=0，N点横坐标n=k23+4k2=13k2+4，
因为k2>0，所以3k2+4>4，
所以02n>2sin1n，则sℎ2ntan1n>2sin1ntan1n=2cs1n，
令n(x)=csx−1+12x2,x∈(0,+∞),n′(x)=−sinx+x>0,n(x)单调递增，
所以n(x)>n(0)=0，即csx>1−12x2恒成立，令x=1n,cs1n>1−12n2，
所以sℎ(2)tan1+sℎ(1)tan12+sℎ23tan13+⋯+sℎ2ntan1n>2cs1+cs12+cs13+⋯+cs1n
>2n−11+122+132+⋯+1n2>2n−1+11×2+12×3+⋯+1(n−1)×n
>2n−1+11−12+12−13+⋯+1n−1−1n=2n−2+1n=2(n−1)+1n．
笔试成绩X
40,50
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
人数
5
15
35
30
10
5
Y
0
3
4
6
7
10
P
112
16
16
112
13
16