2025年湖南省长沙市望城一中高考数学一模试卷（含答案）

这是一份2025年湖南省长沙市望城一中高考数学一模试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N.设AB=mAM,AC=nAN，则2m+n的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.设[x]表示不大于x的最大整数，如[2.5]=2，[1]=1，若正数a满足[lna+120]+[lna+220]+[lna+320]+⋯+[lna+1920]=4，则[10a]=( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
3.设集合P={y|y=ex+1}，M={x|y=lg2(x−2)}，则集合M与集合P的关系是( )
A. M=PB. P∈MC. M⊆PD. P⊆M
4.已知数列{an}满足an+1=an2+1an，则下列说法正确的是( )
A. 若an>0，则{an}所有项恒大于等于 2
B. 若a1=1，则{an}是单调递增数列
C. 若{an}是常数列，则a1=± 2
D. 若a1=2，则{an+1+an2}是单调递增数列
5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为π的半圆，则该圆锥的高为( )
A. 62B. 52C. 32D. 12
6.如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是 3，则( )
A. 这两个球体的半径之和的最大值为3+ 32
B. 这两个球体的半径之和的最大值为43
C. 这两个球体的表面积之和的最大值为(6+3 3)π
D. 这两个球体的表面积之和的最大值为10π9
7.如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且|AP|=2 10，则点P的轨迹的长度为( )
A. 55π
B. 2 55π
C. 3 55π
D. 4 55π
8.已知集合M={x|lgx>0}，N={x|0≤x≤4}，则M∩N=( )
A. (0,1)B. [0,4]C. (1,4]D. {1,4}
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.英国数学家泰勒发现了如下公式：
sinx=x−x33!+x55!−x77!+…，csx=1−x22!+x44!−x66!+…，
某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有( )
A. sin1x−x36
10.已知函数f(x)=x3−2ax2+bx+c(a,b,c∈R)，f′(x)是f(x)的导函数，则( )
A. “a=c=0”是“f(x)为奇函数”的充要条件
B. “a=b=0”是“f(x)为增函数”的充要条件
C. 若不等式f(x)0)的焦点F的直线l交抛物线E于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点(x1>0,y1>0)，若|AF|=2|BF|=4，则下列说法正确的是( )
A. y1⋅y2为定值
B. 抛物线E的准线方程为y=−83
C. 过A、B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上
D. 若过点F且与直线l垂直的直线m交抛物线于C，D两点，则|AB|⋅|CD|=288
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(x+3y−1)6的展开式中x2y的系数为______．
14.将函数f(x)=sin(2x−π3)的图象沿x轴向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(π4)的值为______．
15.设向量a=(3,3)，b=(1,−1)，若(a+λb)⊥(a−λb)，则实数λ= ．
16.某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有______种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知双曲线C的渐近线方程为y=±x，右顶点为B，点A(4,2)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点D(2,0)的直线l与C相交于F，G两点，点E与点F关于x轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)将圆心在y轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点R，圆心距为d，求|RB|d．
18.(本小题12分)
已知f(x)=ax(x>0)，其中a>0，a≠1．
(1)若y=x与y=f(x)相切，求实数a的值；
(2)当a>1时，证明：(x−1)[x2f(x)−f(1x)]≥0；
(3)若不等式f(x)+f(1x)≥2a恒成立，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
对于一组向量a1,a2,a3,…,an(n∈N∗)，令Sn=a1+a2+a3+…+an，如果存在ap(p∈{1,2,3…,n})，使得|ap|≥|Sn−ap|，那么称ap是该向量组的“ℎ向量”．
(1)设an=(n,x+n)(n∈N∗)，若a3是向量组a1,a2,a3的“ℎ向量”，
求实数x的取值范围；
(2)若an=((13)n−1,(−1)n)(n∈N∗)，向量组a1,a2,a3,…,an是否存在“ℎ向量”？
给出你的结论并说明理由；
(3)已知a1、a2、a3均是向量组a1,a2,a3的“ℎ向量”，其中a1=(sinx,csx)，a2=(2csx,2sinx).设在平面直角坐标系中有一点列Q1，Q2，Q3，…，Qn满足：Q1为坐标原点，Q2为a3的位置向量的终点，且Q2k+1与Q2k关于点Q1对称，Q2k+2与Q2k+1(k∈N∗)关于点Q2对称，求|Q2013Q2014|的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x(ex−a)，a∈R．
(1)当a=1时，求f(x)的极值；
(2)若函数g(x)=f(x)−alnx有2个不同的零点x1，x2，
(i)求a的取值范围；
(ii)证明：ex1+x2−1>ax1x2．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(1+x)−1 1+x．
(1)求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程；
(2)若x∈(−1,π)，讨论曲线y=f(x)与曲线y=−2csx的交点个数．
22.(本小题12分)
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acsθ(a>0)，已知过点P(−2,−4)的直线L的参数方程为：x=−2+ 22ty=−4+ 22t，直线L与曲线C分别交于M，N．
(Ⅰ)写出曲线C和直线L的普通方程；
(Ⅱ)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.C
5.A
6.D
7.D
8.C
9.BD
10.ACD
11.BCD
12.ACD
13.−180
14.1
15.±3
16.54 14
17.解：(1)因为双曲线C的渐近线方程为y=±x，
所以设双曲线的方程为x2−y2=λ(λ≠0)，
将点A(4,2)代入得42−22=λ，
即λ=12，
所以双曲线C的方程为x212−y212=1；
(2)当直线DG的斜率不为零时，
设直线DG的方程为x=my+2，F(x1,y1)，G(x2,y2)，E(x1,−y1)，
由x212−y212=1,x=my+2,
消去x整理得(m2−1)y2+4my−8=0，
依题意得：m2−1≠0，且Δ=16m2+32(m2−1)>0，即m2>23且m2≠1，
y1+y2=−4mm2−1，y1y2=−8m2−1，
易知，直线EG的斜率存在，
设直线EG的方程为y+y1=y2+y1x2−x1(x−x1)．
令y=0，得x=(x2−x1)y1y1+y2+x1=x2y1+x1y2y1+y2=(my2+2)y1+(my1+2)y2y1+y2
=2my1y2y1+y2+2=2m×(−8m2−1)−4mm2−1+2=−16m4m+2=6．
所以直线EG过定点(6,0)，
当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为y=0，过点(6,0)，
综上，直线EG过定点(6,0)．

(3)考虑以(0,y0)为圆心的“子圆”Ω0：x2+(y−y0)2=r02(r0>0)，
由Ω0的方程与C的方程消去x，
得关于y的二次方程2y2−2y0y+y02+12−r02=0．
依题意，该方程的判别式Δ=4y02−8(y02+12−r02)=0，
所以y02=2r02−24．
对于外切于点R的两个“子圆”Ω1，Ω2，显然点R在y轴上，
设R(0,ℎ)，Ω1，Ω2的半径分别为r1，r2，
不妨设Ω1，Ω2的圆心分别为(0,ℎ+r1)，(0,ℎ−r2).
则(ℎ+r1)2=2r12−24，(ℎ−r2)2=2r22−24．
两式相减得：2ℎ(r1+r2)=r12−r22，而r1+r2>0，所以ℎ=r1−r22．
所以(r1−r22+r1)2=2r12−24，
整理得：r12+r22−6r1r2+96=0．
因为d=r1+r2，点B(2 3,0)，
所以|RB|2=ℎ2+12=(r1−r22)2+12=18(2r12+2r22−4r1r2+96)
=18[(r1+r2)2+r12+r22−6r1r2+96]=18d2．
所以|RB|2d2=18，
故|RB|d= 24．

18.解：(1)设a=et，则f(x)=etx，f′(x)=tetx，
若y=x与y=f(x)相切，设切点为(x0,y0)，
则y0x0=1=tetx0，
又y0=etx0，
则x0=1t，
从而et=1，即t=1e，即a=e1e．
(2)证明：设a=et，则f(x)=etx，当a>1时，t>0，
依题意，当x>1时，要证x2etx>etx，即证2lnx+tx−tx>0，
当x≥1时，ℎ(x)≥ℎ(1)=0，即x2etx−etx≥0，
从而(x−1)[x2f(x)−f(1x)]≥0；
当0