湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析），文件包含2025届湖南省长沙市望城区第一中学高三一模数学试题原卷版docx、2025届湖南省长沙市望城区第一中学高三一模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 设表示不大于的最大整数，如，，若正数a满足，则（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
3. 设集合，则集合与集合的关系是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则所有项恒大于等于B. 若，则是单调递增数列
C. 若是常数列，则D. 若，则是单调递增数列
5. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ）
A. 这两个球体的半径之和的最大值为
B. 这两个球体半径之和的最大值为
C. 这两个球体的表面积之和的最大值为
D. 这两个球体的表面积之和的最大值为
7. 如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
二、多选题
9. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ）
A. B. （精确到小数点后两位）
C. D. 当时，
10. 已知函数是的导函数，则（ ）
A. “”是“为奇函数”的充要条件
B. “”是“为增函数”的充要条件
C. 若不等式的解集为且，则的极小值为
D. 若是方程的两个不同的根，且，则或
11. 已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设，下列说法正确的是（ ）
A. 点的轨迹是双曲线
B. 是三角形的内心
C.
D. 在上的投影向量为
12. 过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 为定值
B. 抛物线 的准线方程为
C. 过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以为直径的圆上
D. 若过点且与直线垂直的直线 交抛物线于 两点，则
三、填空题
13. 的展开式中的系数为__________.
14. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为__________.
15 设向量．若，则实数________.
16. 某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有__________种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为__________．
四、解答题
17. 已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求.
18. 已知，其中，.
（1）若与相切，求实数的值；
（2）当时，证明：；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
19. 对于一组向量、、、…、（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
（1）设，且，若是向量组、、的“长向量”，求实数的取值范围；
（2）若，且，向量组、、、…、是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知、、均是向量组、、的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列、、、…、，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
20. 已知函数，.
（1）当时，求的极值；
（2）若函数有2个不同的零点，.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
21 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若，讨论曲线与曲线交点个数．
22. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：，
直线与曲线分别交于，.
（1）写出曲线和直线的普通方程；
（2）若，，成等比数列，求的值.