2025年湖南省长沙二十一中高考数学一模试卷（含答案）

这是一份2025年湖南省长沙二十一中高考数学一模试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若(1+i)z=3+i(i为虚数单位)，则z−z−=( )
A. −2B. 4C. −2iD. 2i
2.设数列{an}的前n项和为Sn，若命题p：“数列{an}为等差数列”，命题q：“对任意的k∈N∗，Sk，S2k−Sk，S3k−S2k成等差数列”，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.函数y=ex−e−xe|x|的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)及圆O：x2+y2=a2，如图过点B(0,a)与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若∠AOB=60°，则椭圆的离心率为( )
A. 33
B. 12
C. 32
D. 13
5.若函数f(x)=(x+a)(x+2)2在x=−1处有极小值，则实数a的值为( )
A. −1B. −12C. 12D. 1
6.若双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，则双曲线C2：y2b2−x2a2=1的离心率为( )
A. 3 24B. 4 33C. 3D. 3
7.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)=f(−x)+3ex，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A. y=3x+3B. y=3x−3C. y=x+3D. y=x−3
8.已知sin(π3−α)+sinα=13，则sin(2α+π6)=( )
A. 79B. −79C. 89D. −89
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+⋯+a2024x2024，则下列正确的是( )
A. a0=2024
B. a0+a1+⋯+a2024=32024
C. a0−a1+a2−a3+⋯+a2024=1
D. a1−2a2+3a3−⋯−2024a2024=−2024
10.已知一组样本数据：−1，5，a，b.其中a≤0，b≥0，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是( )
A. 序列不可能既是等比数列又是等差数列
B. 若成等比数列，a和b有3组可能取值
C. 若成等差数列，a和b有3组可能取值
D. 若该数据平均数是1，则方差最小值为214
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则( )
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使PQ//平面MBN
C. 三棱锥P−MBN的体积为13
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=2π3，a=6，则△ABC的面积的最大值为______．
13.设函数f(x)=ax+xx−4(x>4)，若a是从1，2，3，4四个数中任取一个，b是从4，8，12，16，20，24六个数中任取一个，则f(x)>b恒成立的概率为______．
14.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin2B+sin2C−sin2A+sinBsinC=0，则A= ______；若b=2，c=1，BP=tBC，t∈[0,1]，则PC2−BC⋅AP的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2b=c+2acsC．
(1)求A；
(2)若csB= 33，求sin(2B−A)的值；
(3)若bcsB=2a3，点D在边AB上，AD=2DB，CD= 13.求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1,32)，且焦距与长半轴相等．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过右焦点F2，且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接AF2交椭圆C于点B．
(i)若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；
(ii)若过左焦点F1的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且AB⊥DG，求四边形ADBG面积的最小值．
17.(本小题15分)
如图，在四面体A−BCD中，AD⊥面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点.点Q在线段AC上BC⊥CD.且BC=CD=2．
(1)若AQ=3QC.求证：PQ//平面BCD；
(2)二面角A−BC−D为45°，求二面角A−BC−M的余弦值；
(3)若三棱锥A−BCM的体积为1，求三棱锥A−BCD外接球的体积．
18.(本小题17分)
某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
已知：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
(Ⅰ)从抽取的1000份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于2的概率；
(Ⅱ)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
(i)记X−1为抽取的1000份保单的毛利润平均值，求X−1的值；
(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下抽取的1000份保单毛利润的平均值X−2与(i)中X−1的大小．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=eaxlnx，其中a>0．
(1)若y=f(x)在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为e2，求a的值；
(2)若x=x0是f(x)的极小值点，证明：f(x0)0)，∵BC=CD=2，
∴C(0,0,0)，D(2,0,0)，B(0,2,0)，A(2,0,a)，M(2,0,a2)，
∴CB=(0,2,0)，CA=(2,0,a)，
设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则CB⋅n=2y=0CA⋅n=2x+az=0，令x=a，得n=(a,0,−2)，
∵CG⊥平面BCD，∴平面BCD的法向量为m=(0,0,1)，
∵二面角A−BC−D为45°，
∴|cs|=|n⋅m||n|⋅|m|=2 a2+4= 22，解得a=2>0，
此时平面ABC的一个法向量为n=(2,0,−2)，
∵C(0,0,0)，B(0,2,0)，M(2,0,1)，
设平面CB=(0,2,0)，CM=(2,0,1)，
设平面CBM的法向量为p=(x′,y′,z′)，
∴CB⋅p=2y′=0CM⋅p=2x′+z′=0，令x′=1，得p=(1,0,−2)，
由图得二面角A−BC−M是锐角，
∴二面角A−BC−M的余弦值为：
|cs|=|n⋅p||n|⋅|p|=62 2⋅ 5=3 1010．
(3)设AD=a，(a>0)，若三棱锥A−BCM的体积为1，
则VA−BCM=VA−BCD−VM−BCD=13⋅(a−12a)⋅12⋅2⋅2=1，解得a=3，
∵BC⊥CD，∴△BCD外接圆圆心坐标为(1,1,0)，
∵AD⊥平面BCD，AD=a=3，
∴由对称性可知三棱锥A−BCD外接球的球心为O(1,1,32)，
即CO=(1,1,32)，
∴三棱锥A−BCD外接球的半径为R=|CO|= 1+1+94= 172，
∴三棱锥A−BCD外接球的体积为V=43πR3=43π( 172)3=17 17π6．
18.解：已知一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
(Ⅰ)根据题中数据，在1000份保单中，索赔次数不少于2的保单份数为 60+30+10=100，
故一份保单索赔次数不少于2的概率可估计为101000=110．
(Ⅱ)(i)由题设，
所以X−1=(0.4×800−0.4×100−1.2×60−2×30−2.6×10)×11000=0.122．
(ii)这种情况下抽取的1000份保单毛利润的平均值X−2
大于(i)中X−1的估计值．如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，
1000份保单毛利润变化为[−0.4×800×4%+0.4×20%×(100+60+30+10)]×11000=0.032，
X−2=0.122+0.0032=0.1252．
则X2−>X1−．
19.解：(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=aeaxlnx+eax⋅1x=eax(alnx+1x)，
由f′(1)=ea，
可得切线方程为y=ea(x−1)，
则切线与两坐标轴的交点分别为(1,0)，(0,−ea)，
所围成的三角形的面积S=12×1×ea=e2，
解得a=1；
(2)证明：令φ(x)=alnx+1x,x>0，
则φ′(x)=ax−1x2=ax−1x2，
由φ′(x)=0，解得x=1a，
当x∈(0,1a)时，φ′(x)0，则φ(x)单调递增，
可得φ(x)min=φ(1a)=aln1a+a=a(1−lna)，
若0e，φ(x)min=φ(1a)=a(1−lna)0，且φ(a−4)=a4−4alna=a(a3−4lna)>a(4a−4lna)>0，
可知，存在x1，x2∈R，满足1a4