湖南省长沙市第二十一中学2025届高三下学期一模数学试卷（含答案）

这是一份湖南省长沙市第二十一中学2025届高三下学期一模数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若1+iz=3+i(i为虚数单位)，则z−z=( )
A. −2B. 4C. −2iD. 2i
2.设数列an的前n项和为Sn，若命题p:“数列an为等差数列”，命题q:“对任意的k∈N∗，Sk,S2k−Sk,S3k−S2k成等差数列”，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.函数y=ex−e−xe|x|的图象大致为( )．
A. B.
C. D.
4.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0及圆O:x2+y2=a2，如图，过点B0,a与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若∠AOB=60∘，则椭圆的离心率为( )
A. 33B. 12C. 32D. 13
5.若函数f(x)=(x+a)(x+2)2在x=−1处有极小值，则实数a的值为( )
A. −1B. −12C. 12D. 1
6.若双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的离心率为3，则双曲线C2:y2b2− x2a2=1 的离心率为( )
A. 3 24B. 4 33C. 3D. 3
7.已知定义在R上的函数fx满足2fx=f−x+3ex，则曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为
A. y=3x+3B. y=3x−3C. y=x+3D. y=x−3
8.已知sinπ3−α+sinα=13，则sin2α+π6=( )
A. 79B. −79C. 89D. −89
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+⋯+a2024x2024，则下列正确的是( )
A. a0=2024
B. a0+a1+⋯+a2024=32024
C. a0−a1+a2−a3+⋯+a2024=1
D. a1−2a2+3a3−⋯−2024a2024=−2024
10.已知一组样本数据：−1,5,a,b.其中a≤0，b≥0，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是( )
A. 序列不可能既是等比数列又是等差数列
B. 若成等比数列，a和b有3组可能取值
C. 若成等差数列，a和b有3组可能取值
D. 若该数据平均数是1，则方差最小值为214
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N,P分别是AA1,CC1,C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 存在点Q，使B,N,P,Q四点共面
B. 存在点Q，使PQ//平面MBN
C. 三棱锥P−MBN的体积为13
D. 经过C,M,B,N四点的球的表面积为9π2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=2π3，a=6，则▵ABC的面积的最大值为 ．
13.设函数fx=ax+xx−4x>4，若a是从1,2,3,4四个数中任取一个，b是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则fx>b恒成立的概率为 ．
14.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且sin2B+sin2C−sin2A+sinBsinC=0，则A= ；若b=2，c=1，BP=tBC，t∈0,1，则PC2−BC⋅AP的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知a，b，c分别为▵ABC三个内角A，B，C的对边，且2b=c+2acsC．
(1)求A；
(2)若csB= 33，求sin2B−A的值；
(3)若bcsB=2a3，点D在边AB上，AD=2DB，CD= 13.求▵ABC的面积．
16.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点1,32，且焦距与长半轴相等．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过右焦点F2且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接AF2交椭圆C于点B.
(i)若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；
(ii)若过左焦点F1的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且AB⊥ DG，求四边形ADBG面积的最小值．
17.(本小题12分)
如图，在四面体A−BCD中，AD⊥面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，BC⊥CD且BC=CD=2．
(1)若AQ=3QC，求证：PQ//平面BCD．
(2)若二面角A−BC−D为45∘，求二面角A−BC−M的余弦值．
(3)若三棱锥A−BCM的体积为1，求三棱锥A−BCD外接球的体积．
18.(本小题12分)
某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
已知：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
(1)从抽取的1000份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
(i)记X1为抽取的1000份保单的毛利润平均值，求X1的值；
(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下抽取的1000份保单毛利润的平均值X2与(i)中X1的大小．
19.(本小题12分)
已知函数fx=eaxlnx，其中a>0．
(1)若y=fx在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为e2，求a的值；
(2)若x=x0是fx的极小值点，证明：fx00，又BC=CD=2．
所以C0,0,0,D2,0,0,B0,2,0,A2,0,a,M2,0,a2，
所以CB=0,2,0,CA=2,0,a，
设平面ABC的一个法向量为n1=x1,y1,z1，
则CB⋅n1=0CA⋅n1=0，即2y1=02x1+az1=0,
令x1=a，解得y1=0,z1=−2，
所以可取平面ABC的一个法向量为n1=a,0,−2，
因为CG⊥面BCD，所以可取面BCD的一个法向量为n2=0,0,1，
若二面角A−BC−D为45∘，
则csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=2 a2+4= 22，解得a=2>0，
此时平面ABC的一个法向量为n1=2,0,−2，
又C0,0,0,B0,2,0,M2,0,1，
所以CB=0,2,0,CM=2,0,1，
设平面CBM的法向量为n3=x3,y3,z3，
所以CB=0,2,0,CM=2,0,1，
所以CB⋅n3=2y3=0CM⋅n3=2x3+z3=0，令x3=1，解得y3=0,z3=−2，
即平面CBM的一个法向量为n3=1,0,−2，
观察图形，注意到二面角A−BC−M是锐角，
所以它的余弦值为csn1,n3=n1⋅n3n1⋅n3=62 2⋅ 5=3 1010．
(3)设AD=a,a>0，若三棱锥A−BCM的体积为1，
则VA−BCM=VA−BCD−VM−BCD=13⋅a−12a⋅12⋅2⋅2=1，解得a=3，
因为BC⊥CD，所以▵BCD外接圆圆心坐标为1,1,0，
因为AD⊥面BCD，AD=a=3，
所以由对称性可知三棱锥A−BCD外接球的球心为O1,1,32，即CO=1,1,32，
所以三棱锥A−BCD外接球的半径为R=CO= 1+1+94= 172，
从而三棱锥A−BCD外接球的体积为V=43πR3=43π 1723=17 17π6．

18.解：(1)根据题中数据，在1000份保单中，索赔次数不少于2的保单份数为60+30+10=100，故一份保单索赔次数不少于2的概率可估计为1001000=110．
(2)(i)由题设，
所以X1=(0.4×800−0.4×100−1.2×60−2×30−2.6×10)×11000=0.122．
(ii)这种情况下抽取的1000份保单毛利润的平均值X2大于(i)中X1的估计值．
如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，
1000份保单毛利润变化为−0.4×800×4%+0.4×20%×100+60+30+10×11000=0.0032，
X2=0.122+0.0032=0.1252．
因此X2>X1．

19.解：(1)由题设f′(x)=eax(alnx+1x)，则f′(1)=ea，
所以y=fx在点(1,0)处的切线为y=ea(x−1)，
令x=0，则y=−ea；令y=0，则x=1，
所以切线与两坐标轴所围成三角形的面积12×ea×1=e2，可得a=1．
(2)由(1)f′(x)=eaxx(axlnx+1)，且x∈(0,+∞)，eaxx>0，a>0，
由x=x0是fx的极小值点，则ax0lnx0+1=0且ax0>0，可得lnx0=−1ax0，
要证f(x0)