2024-2025学年江西省上进联考高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省上进联考高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−4,−3,0,6}，B={x∈Z||x|≤3}，则A∩B的非空真子集的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
2.已知命题p：∀x∈R，|x+2024|>0，命题q：∃x<−3，sin(x+3)=0，则( )
A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题
C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题
3.将函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度后得到奇函数g(x)的图象，则φ=( )
A. π12B. π4C. 5π12D. π2
4.已知函数f(x)=ex+3x,x≤0,x2+2ax+5a,x>0在R上单调，则a的取值范围是( )
A. (−∞,15]B. [0,15]C. [15,+∞)D. [0,+∞)
5.已知sin2θ+2 3sinθcsθ+3cs2θ=4，则tanθ=( )
A. 1B. − 22C. 2D. 33
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bc=3a2，且b+c=72a，则sinA=( )
A. 156B. 158C. 23D. 38
7.已知a+1a−1=2+lg326，则a=( )
A. lg392B. 32C. lg34D. 2
8.已知a，b为正数，若∀x>−b，有函数f(x)=(x+b)x−a≥1，则1a+8b的最小值为( )
A. 9+2 2B. 9+4 2C. 9D. 6 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b>c，则( )
A. a−c2>b−c2B. a|c−2|>b|c−2|
C. cs(a+2c)>cs(b+2c)D. a3>b3
10.已知函数f(x)=aex+bx+c的两个零点分别为−1，1，且f(0)<0，则( )
A. c=−e+e−12⋅aB. a>0C. 2b+ea<0D. a+b+c<0
11.若存在实数b使得方程x4+mx3+nx+b=0有四个不等的实根，则mn的值可能为( )
A. −2024B. 2025C. 0D. −6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为______．
13.已知函数f(x)=lg3(3sinx+ 9sin2x+1)+1，则f(m− 2)+f( 2−m)= ______．
14.函数f(x)=8ln(sinx)+sin22x在区间(0,π2)上的零点个数为______个.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)= 6cs(2x+π4)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0,5π8]时，求f(x)的最值．
16.(本小题15分)
已知集合A={x|a≤x≤a+1}，B={x|y=lg(x2−3x−10)．
(1)当a=1时，求(∁RB)∩A；
(2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，求a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=3x−sinx+2ex．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求f(x)的最值．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b=2c=4．
(1)求C的取值范围；
(2)若△ABC为锐角三角形，设AN=λAB，BM=λBA(λ>1)，探究是否存在λ，使得tan∠CMA⋅tan∠CNB为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
定义：设函数f(x)的图象上一点(x0,f(x0))处的切线为l0，l0在(x0,f(x0))处的垂线l1也与f(x)的图象相切于另一点(x1,f(x1))，则称l0和l1为f(x)的一组“垂切线”，x0为“垂切点”．
已知三次函数f(x)=x3+bx，l0和l1为f(x)的一组“垂切线”，其中x0为f(x)的垂切点，l1与f(x)相切于点(x1,f(x1))．
(1)求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程；(用x0和b表示)
(2)若对任意x1都存在α∈[0,π2)，使x12=mcsα，求正数m的取值范围；
(3)证明：点(x0,f(x0))和(x1,f(x1))之间连线段的长度不小于4433．
参考公式：2x13−3x12x0+x03=(x1−x0)2(x0+2x1)，x13−x03=(x1−x0)(x02+x0x1+x12)．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
6.B
7.A
8.B
9.AD
10.ABD
11.AD
12.12
13.2
14.0
15.解：(1)函数f(x)= 6cs(2x+π4)．
令2kπ−π≤2x+π4≤2kπ(k∈Z)，得kπ−5π8≤x≤kπ−π8(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ−5π8,kπ−π8](k∈Z)；
(2)令t=2x+π4，则由x∈[0,5π8]可得t∈[π4,3π2]，
所以当t=π，即x=3π8时，ymin= 6×(−1)=− 6，
当t=π4时，即x=0时，ymax= 6× 22= 3．
即当x=3π8时，函数f(x)取最小值− 6；x=0时，函数f(x)取最大值 3．
16.解：(1)当a=1时，A={x|1≤x≤2}，B={x|y=lg(x2−3x−10)}={x|(x−5)(x+2)>0}={x|x<−2或x>5}，
∴∁RB={x|−2≤x≤5}，
∴(∁RB)∩A={x|1≤x≤2}；
(2)∵“x∈A”是“x∈∁RB“的充分不必要条件，
∴A是∁RB的真子集．
∵a∴a≥−2a+1≤5，解得：−2≤a≤4，
∴a的取值范围是[−2,4]．
17.解：(1)∵f(x)=3x−sinx+2ex，∴f(0)=2，
∵f′(x)=(3−csx)ex−ex(3x−sinx+2)e2x=−3x+sinx−csx+1ex，
∴f′(0)=0，
从而曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2；
(2)设g(x)=−3x+sinx−csx+1，显然g(x)，f′(x)同号，
则g′(x)=−3+csx+sinx= 2sin(x+π4)−3≤ 2−3<0，
∴g(x)在(−∞,+∞)上单调递减，
注意到g(0)=0，
当x<0时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,0)单调递增；
当x>0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，
当x→−∞时，f(x)=3x−sinx+2ex→−∞，当x→+∞时，f(x)=3x−sinx+2ex→0，
∴f(x)的最大值为f(0)=2，无最小值．
18.解：(1)根据余弦定理，csC=a2+b2−c22ab=a2+b2−42ab=(a+b)2−2ab−42ab=12−2ab2ab=6ab−1，
根据基本不等式，a+b=4≥2 ab，解得ab≤4，当a=b=2取等号，
此时csC=6ab−1≥64−1=12，
结合C∈(0,π)，可得0则C的取值范围为(0,π3]；
(2)以AB为x轴，AB中点为原点O，建立如图所示的直角坐标系，

由题意CA+CB=4=定值，且4>AB，
根据椭圆的定义可知，C的轨迹是以A(−1,0)，B(1,0)为焦点的椭圆(A,B,C不共线)，
则椭圆的a1=2,c1=1,b1= 3，方程为x24+y23=1，
设N(t,0)，根据AN=λAB，则(t+1,0)=λ(2,0)，
则t=2λ−1，故N(2λ−1,0)；
设M(m,0)，根据BM=λBA，则(m−1,0)=λ(−2,0)，
则m=1−2λ，故N(1−2λ,0)，
于是tan∠CMA⋅tan∠CNB=y0x0−1+2λ⋅y02λ−1−x0=y02(2λ−1)2−x02，
结合C(x0,y0)在椭圆上，x024+y023=1，
可得tan∠CMA⋅tan∠CNB=3−34x02(2λ−1)2−x02，
要想乘积为定值，则(2λ−1)2=4，结合λ>1，解得λ=32，
此时tan∠CMA⋅tan∠CNB=3−34x024−x02=34．
19.解：(1)因为f(x)=x3+bx，
所以f′(x)=3x2+b，f′(x0)=3x02+b，
所以曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为3x02+b，又f(x0)=x03+bx0，
所以曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y−x03−bx0=(3x02+b)(x−x0)，
化简可得(3x02+b)x−y−2x03=0；
(2)由已知曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与直线(3x2+b)x−y−2x03=0垂直，
又曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线斜率为3x12+b，
所以曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为(3x12+b)x−y−2x13=0，
所以(3x02+b)(3x12+b)=−1，
(3x12+b)x0−f(x0)−2x13=0，f(x0)=x03+bx0，
所以2x13−3x12x0+x03=0，
又2x13−3x12x0+x03=(x1−x0)2(x0+2x1)，
所以(x1−x0)2(x0+2x1)=0，又x1≠x0，
所以x0=−2x1，
所以(12x12+b)(3x12+b)=−1，
所以b2+15x12b+36x14+1=0，
因为关于b的方程有解，所以其判别式Δ=225x14−4(36x14+1)≥0，
故x14≥481，即x12≥29，
因为对任意x1都存在α∈[0,π2)使x12=mcsα，
所以函数y=mcsα，α∈[0,π2)的值域[m+∞)包合区间[29,+∞),
所以0所以m的取值范围为(0,29]；
(3)证明：因为点(x0,f(x0))和(x1,f(x1))之间连线段的长度d= (x1−x0)2+(f(x1)−f(x0))2，
所以d= (x1−x0)2+(x12+bx1−x02−bx0)2，
又x13−x03=(x1−x0)(x02+x0x1+x12)，
所以d= (x1−x0)2+(x1−x0)2(x12+x02+x1x0+b)2，
由(2)x0=−2x1，
所以d= 9x12[1+(3x12+b)2]，
故d2=9x12[1+(3x12+b)2]=9x12(9x14+6bx12+b2+1)，
由(2)知b2+15x12b+36x14+1=0，即b2+1=−15x12b−36x14，
所以d2=−81x12(3x14+bx12)，
由已知方程b2+15x12b+36x14+1=0的判别式Δ=225x14−4(36x14+1)=81x14−4≥0，
所以b=−15x12± 81x14−42，
所以d2=−81x14(3x12+b)≥−81x14(3x12+−15x12+ 81x14−42)=81x14( 81x14− 81x14−42)，
令t= 81x14，则t≥2，d2≥t3−t2 t2−42，
设g(t)=t3−t2 t2−42，则g′(t)=3t22−t t2−4−t32 t2−4=t22(3−2 t2−4t−t t2−4)，
令m= t2−4t= 1−4t2，则0≤m<1，
故y=3−2 t2−4t−t t2−4=3−2m−1m=−(2m−1)(m−1)m，
又t2>0，
所以当0≤m<12时，g′(t)<0，函数g(t)单调递减，
当120，函数g(t)单调递增，
故当 t2−4t=12，即t=4 33时，g(t)取最小值，最小值为16 39，
所以d2≥16 39，
所以d≥4433．