2024-2025学年广西南宁三中高一（下）月考数学试卷（一）（含答案）

这是一份2024-2025学年广西南宁三中高一（下）月考数学试卷（一）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−2,0,2,5}，B={x|−20，b>0，则下面结论正确的是( )
A. 若a>b，则1a0,a与b的夹角θ∈[0,π4]，且a〇b和b〇a都在集合{nm|m∈Z,n∈Z}中.给出以下命题，其中一定正确的是( )
A. 若m=1时，则a〇b=b〇a=1
B. 若m=2时，则a〇b=12
C. 若m=3时，则a〇b的取值个数最多为7
D. 若m=2014时，则a〇b的取值个数最多为201422
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=lg3x,x>03x,x≤0，则f(−1)+f(3)= ______．
13.在△ABC中，已知A=π4，a=2，若△ABC有两解，则边b的取值范围为______．
14.已知扇形AOB半径为1，∠AOB=60°，弧AB上的点P满足OP=λOA+μOB(λ,μ∈R)，则λ+μ的最大值是 (1) ；PA⋅PB最小值是 (2) ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a，b的夹角为π3．
(1)若(a−b)⊥(a+λb)，求实数λ的值；
(2)求a与2a−b的夹角．
16.(本小题15分)
已知△ABC的三个内角A，B，C所对边为a，b，c，若B=2C，b：c=4： 5．
(1)求csB的值；
(2)若a=11，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx+2cs2x(x∈R)．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到g(x)的图象，已知g(x0)=115，x0∈[π3,π2]，求cs2x0的值．
18.(本小题17分)
在面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2S(sinCsinB+sinAsinC)=(a2+b2)sinA．
(1)求C的值；
(2)若c= 2，求△ABC周长的最大值；
(3)若△ABC为锐角三角形，且AB边上的高ℎ为2，求△ABC面积的取值范围．
19.(本小题17分)
若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使得f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．
(1)判断函数g(x)=sinx是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数f(x)=2x−1在定义域[m,n](m>0)上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
(3)已知函数ℎ(x)=(x−a)2(a≥43)在定义域[43,4]上为“依赖函数”，若存在实数x∈[43,4]，使得对任意的t∈R，不等式ℎ(x)≥−t2+(s−t)x+4都成立，求实数s的最大值．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.A
5.C
6.A
7.C
8.B
9.ABD
10.ACD
11.AC
12.43
13.(2,2 2)
14.2 33；32− 3
15.解：(1)因为(a−b)⊥(a+λb)，
所以(a−b)⋅(a+λb)=0，
即|a|2−λ|b|2+(λ−1)a⋅b=0，
也即|a|2−λ|b|2+(λ−1)|a|⋅|b|csπ3=0，
所以1−4λ+λ−1=0，解得λ=0．
(2)因为a⋅(2a−b)=2a2−a⋅b=2|a|2−|a|⋅|b|csπ3=1，|2a−b|= (2a−b)2= 4a2+b2−4a⋅b= 4|a|2+|b|2−4|a|⋅|b|csπ3=2，
所以cs=a⋅(2a−b)|a|⋅|2a−b|=12，
又∈[0,π]，
所以=π3．
16.解：(1)由题意，B=2C，b：c=4： 5，
根据正弦定理，可得sinBsinC=4 5，
又B=2C，则有sin2CsinC=2csC=4 5，
所以csC=2 55，则cs2C=2cs2C−1=35，
即csB=35；
(2)由余弦定理，可得b2=a2+c2−2accsB，
又a=11，b：c=4： 5，
则有165c2=121+c2−22c×35，
整理得c2+6c−55=0，解得c=5或c=−11(舍去)，
由csB=35，可得sinB=45，
故S△ABC=12acsinB=12×11×5×45=22．
17.解：(Ⅰ)函数f(x)=2 3sinxcsx+2cs2x= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1．
令−π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得−π3+kπ≤x≤kπ+π6(k∈Z)，
所以函数的单调增区间为：[−π3+kπ,kπ+π6](k∈Z)．
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到g(x)=2sin(2x−π6)+1的图象，
由于g(x0)=115，即2sin(2x0−π6)+1=115，整理得sin(2x0−π6)=35．
由于x0∈[π3,π2]，所以2x0−π6∈[π2,5π6]．
故cs(2x0−π6)=−45．
则cs2x0=cs[(2x0−π6)+π6]=(−45)× 32−35×12=−4 3−310．
18.解：(1)由2S(sinCsinB+sinAsinC)=(a2+b2)sinA，
可得2S(cb+ac)=(a2+b2)sinA，即有2S(ab+c2)=bcsinA(a2+b2)，
由三角形的面积公式，可得a2+b2=c2+ab，即a2+b2−c2=ab，
由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=12，
由0