2023-2024学年广西南宁三中高一（下）月考数学试卷（三）（含答案）

这是一份2023-2024学年广西南宁三中高一（下）月考数学试卷（三）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. ⌀B. {1,2}C. {3,4}D. {5,6}
2.复数z满足z(2−i)=i(i是虚数单位)，则在复平面内z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccsA，则这个三角形一定是( )
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
4.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知M，N分别为棱AB，AB1的中点，则异面直线A1C1与MN所成的角等于( )
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
5.中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《周髀算经》的概率为( )
A. 310B. 12C. 15D. 25
6.图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器ABC−A1B1C1，现往内灌进一些水，设水深为ℎ.将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为△A1B1C，如图2，则ℎ=( )
A. 3B. 4C. 4 2D. 6
7.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且对∀λ∈R，|b+λa|≥|b−a|，则a⋅b=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
8.如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点.若AB=2，PA= 3，记直线PB与平面PAC所成的角为α，∠ABC=β，则sinαsinβ的最大值为( )
A. 74
B. 75
C. 76
D. 77
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设a，b，c是三个非零向量，则下列命题正确的有( )
A. (a⋅b)c=(c⋅a)b
B. (2a+3b)⋅(2a−3b)=4|a|2−9|b|2
C. (b⋅c)a−(a⋅c)b不与c垂直
D. |a|−|b|≤|a−b|
10.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的有( )
A. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
B. 若m⊥α，m/​/n，n/​/β，则α⊥β
C. 若α/​/β，m⊂α，n⊥β，则m⊥n
D. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°，侧面AA1C1C的对角线交点O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是( )
A. 直三棱柱的侧面积是4+2 3
B. 直三棱柱的外接球表面积是4π
C. 三棱锥E−AA1O的体积与点E的位置无关
D. AE+EC1的最小值为2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,1)，b=(−1,λ)，若(a+b)⊥a，则λ= ______．
13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是______．
14.在平面四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，AB=2，AD= 2，则四边形ABCD的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；
(Ⅱ)求证：PB/​/平面AEC．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,−π2≤φ≤π2)的图象关于直线x=π2对称，且图象上相邻2个最高点的距离为π．
(1)求ω和φ的值；
(2)若f(α2)= 34(π6<α<2π3)，求cs(α+3π2)的值．
17.(本小题15分)
本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试(满分100)，并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示频率分布直方图．
(1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；
(2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在[60,70)的概率．
18.(本小题17分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(c−2b)csA+acsC=0．
(1)求角A的大小；
(2)若a=4，b+c=8，求△ABC的面积；
(3)若角C为钝角，直接写出cb的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，|AB|=2，|BC|=|CD|=1，AB/​/CD，∠ABC=90°，∠APB=90°，|PA|=|PB|．
(1)求点D到平面PAC的距离；
(2)求二面角A−BD−P的正切值．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.B
5.D
6.B
7.C
8.D
9.BD
10.BCD
11.ACD
12.−3
13.23
14.7
15.证明：(Ⅰ)因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，而PA∩AC=A，
可证得：BD⊥平面PAC；
(Ⅱ)设AC∩BD=O，连接OE，因为底面ABCD是菱形，
所以O为BD的中点，E为PD的中点，所以OE为△PBD的中位线，
所以OE/​/PB，
又因为OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
可证得：PB/​/平面AEC．
16.解：(1)由函数f(x)= 3sin(ωx+φ)的图象上相邻2个最高点的距离为π，
可得函数的周期为2πω=π，求得ω=2．
再根据f(x)的图象关于直线x=π2对称，可得2×π2+φ=kπ+π2，k∈Z，
再结合−π2≤φ≤π2，可得φ=−π2，f(x)= 3sin(2x−π2)=− 3cs2x．
(2)∵f(α2)=− 3csα= 34，∴csα=−14．
再根据π6<α<2π3，∴sinα= 1−cs2α= 154，∴cs(α+3π2)=sinα= 154．
17.解：(1)由频率直方图得(a+0.02+0.035+0.025+a)×10=1，则a=0.01，
所以高二数学成绩的平均数为95×0.1+85×0.25+75×0.35+65×0.2+55×0.1=75.5，
前3组的频率和为0.1+0.2+0.35=0.65，所以85%分位数为0.85−×10+80=88．
故高二数学平均成绩为75.5，85%分位数为88．
(2)分层抽样6人中，[50,60)的有6×0.10.1+0.2=2人，记为1，2.[60,70)的有6−2=4人，记为3，4，5，6，
从6人中任取2人，基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，
其中2人分数都在[60,70)的有34，35，36，45，46，56共6种，
所以从6人中任取2人，分数都在[60,70)的概率为615=25．
18.解：(1)由(c−2b)csA+acsC=0及正弦定理得：
(sinC−2sinB)csA+sinAcsC=0，
因为sinCcsA+sinAcsC=sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，
则有sinB(1−2csA)=0，又00，
则csA=12，又0(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，又a=4，A=π3，
代入得b2+c2−bc=16，由b+c=8，
可得(b+c)2−3bc=16，即bc=16，
故△ABC的面积S=12bcsinA=12×16× 32=4 3；
(3)由正弦定理bsinB=csinC，可得cb=sinCsinB，
由C=2π3−B，代入化简得：
cb=sinCsinB=sin(2π3−B)sinB= 32csB+12sinBsinB= 32tanB+12，
因C为钝角，故由0π2，可得0则032，即cb>2，
故cb的取值范围是(2,+∞)．
19.解：(1)∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，且∠ABC=90°，即BC⊥AB，BC⊂面ABCD，
∴BC⊥平面PAB，而AP⊂平面PAB，
∴BC⊥AP，
又∠APB=90°，所以AP⊥BP，又BC∩BP=B，BC，BP⊂平面PBC，
∴PA⊥平面PBC，BP，PC⊂面PBC，
即AP⊥BP，AP⊥PC，
由BP⊂面PAB，则BC⊥BP，
又|PA|=|PB|，|AB|=2，|BC|=|CD|=1，
∴|PA|=|PB|= 2，|PC|= |PB|2+|BC|2= 3，
则PC2+AP2=AB2+BC2=AC2，故PC⊥AP，
∴S△APC=12|AP|⋅|PC|= 62,S△ADC=12|DC|⋅|BC|=12，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴点P到平面ABCD的距离即为点P到直线AB的距离，
设点P到平面ABCD的距离为ℎ1，则ℎ1=1，
设点D到平面PAC的距离为ℎ2，则VP−ADC=VD−PAC，
∴13S△ADC⋅ℎ1=13S△APC⋅ℎ2，
即13×12×1=13× 62×ℎ2，
解得ℎ2= 66，
即点D到平面PAC的距离为 66．
(2)如图：

取AB中点M，连结BD，取BD中点O，连结DM，PM，MO，PO，
∵|PA|=|PB|，M为AB中点，所以PM⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PM⊂面PAB，
∴PM⊥平面ABCD，又∠APB=90°，|AB|=2，
所以|PM|=12|AB|=1，|BD|= |BC|2+|CD|2= 12+12= 2，
由题设易知BCDM为正方形，则|MD|=|MB|=1，且MB⊥MD，
∴MO⊥BD且|MO|=12|BD|=12× 2= 22，
则BD⊥MO，BD⊥PM，MO∩PM=M，MO，PM⊂平面POM，
∴BD⊥平面POM，PO⊂平面POM，
∴PO⊥BD，
∴在直角三角形POM中，∠POM即为二面角的平面角，
tan∠POM=PMMO=1 22= 2．