山西省名校联考2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份山西省名校联考2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前、考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时、请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章~第七章第2节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则（ ）
A. 2B. C. 10D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值.
【详解】因，
所以.
故选：D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，结合交集的定义，将集合中元素代入不等式验证求解.
【详解】集合，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以.
故选：C
3. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出.
【详解】向量，，由，得，
所以.
故选：A
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质比较大小.
【详解】依题意，，
所以.
故选：B
5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解.
【详解】在中，由，得，
由正弦定理得，所以.
故选：A
6. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解.
【详解】由，得，而，，
由余弦定理得（米）.
故选：C
7. 如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量数量积的几何意义，即投影向量的意义计算即得.
【详解】
如图过点作直线，交于点，
因，又，
则，而即在直线上投影的数量，
要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大，
由图知，当点与点或重合时投影向量的数量最大.
因，由对称性知，，
在中，，因，解得，
则，故的最大值为.
故选：B.
8 已知，，且，，则（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，根据函数单调性分析出，代入求解即可.
【详解】令，则在定义域上单调递增.
则，，
所以，则有，故.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量的相关概念，可得答案.
【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A错误；
相等向量方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故BD正确；
当时，向量不一定共线，故C错误.
故选：BD.
10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则是实数
C. 若，则是纯虚数D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用复数的代数运算计算可判断ABC，利用赋值法计算可判断D.
【详解】因为，，所以，故A正确；
设，则 ，
所以，故B正确；
设，则，所以，
解得，所以 是纯虚数，故C正确；
，
则
但，故D错误.
故选：ABC
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，则面积的最大值为
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦化简判断A；利用余弦定理推理判断B；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，由及正弦定理得，即，
则或，即或，是等腰或直角三角形，A错误；
对于B，由，得，则是的最大内角，
又，则，为锐角，是锐角三角形，B正确；
对于C，由，及余弦定理得，
当且仅当时取等号，因此，C正确；
对于D，取，满足，而，则，即，D错误.
故选：BC
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的定义，利用投影向量的公式，可得答案.
【详解】由题意可得在上的投影向量为.
故答案为：.
13. 已知，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数运算法则求出，将化为，再利用齐次式弦化切即可求得答案.
【详解】，
.
故答案为：.
14. 在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为________；若，则的值是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用表示向量，再利用共线向量定理的推论求得；利用表示向量，再利用数量积的运算律求得.
【详解】在中，由，得，则，
令，又D是的中点，则，
而共线，因此，解得，所以；
，于，所以.
故答案为：；
四、解荅题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，复数．
（1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
（2）若z满足，，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解.
（2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解.
【小问1详解】
复数在复平面内对应的点为，
由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，
所以的取值范围是.
【小问2详解】
依题意，，
又，则，解得，
，
所以.
16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求边上的高．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值；
（2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高.
【小问1详解】
由和余弦定理，
可得：，
化简得，则得，
故；
【小问2详解】
由可得，
由（1）已得，解得，
由余弦定理，
，解得，
设边上的高边上的高为，
则由，解得，
故边上的高为.
17. 已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为．
（1）求的解析式；
（2）若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数，设出的解析式，利用给定的解集求出参数得解析式.
（2）由（1）的结论，等价变形不等式，分离参数，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值即可求解.
【小问1详解】
由，得，则，
由二次函数满足，设，
不等式，即，
依题意，是方程的二实根，且，
于是，解得，
所以的解析式为.
【小问2详解】
由（1）知，，
不等式，
依题意，不等式对任意的恒成立，
而，，当且仅当，即时取等号，
因此，解得，
所以实数m的取值范围是.
18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
（1）若，求的值；
（2）求的长；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案；
（2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案；
（3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案.
【小问1详解】
由分别为的中点，则，，
由图可得，则，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，
由，则，
，
可得，解得.
【小问3详解】
由图可得，
，
，
由，则.
19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
（1）若向量为函数的伴随向量，求；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
（3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可；
（2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得；
（3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得.
【小问1详解】
因，
则，故.
【小问2详解】
依题意，，
由可得，
因，则，故，解得
因，则，
又，代入解得①，
由正弦定理，，可得，
代入①，可得②，
又由余弦定理，，
可得③，
于是，
解得.
【小问3详解】
依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当时，两者有四个交点.
故实数m的取值范围为.