江西省九师联盟2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试卷（含解析）

这是一份江西省九师联盟2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 若，，，则， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：北师大版必修第一册，必修第二册第一章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】明确集合，再根据交集的运算求交集即可.
【详解】由，所以，
所以.
故选：B
2. 若，且，则是
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】C
【解析】
【详解】，则的终边在三、四象限； 则的终边在三、一象限，
，，同时满足，则的终边在三象限．
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的解析式列出函数有意义时需满足的不等式，即可求得答案.
【详解】由题知，，解得，.
故选：C
4. 已知是周期为4的函数，且时，，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的周期为4，可得，将代入解析式，即可得答案.
【详解】解：因为是周期为4的函数，
且时，，
.
故选：A.
5. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式，把，再结合正弦函数的单调性可比较的大小，再引入1，可判断与的大小.
【详解】根据诱导公式，可得.
因为函数在上单调递增，所以
.
又在上单调递增，所以，
所以.
故选:D
6. 甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设出三个事件然后根据题意及独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式列方程求对应三个事件的概率，再根据公式算出甲命中乙也命中的概率.
【详解】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”，
由题意解得
故甲命中乙也命中概率为.
故选D.
7. 由于潮汐，某港口一天的海水水位（单位：）随时间（单位：h，）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为，最低水位为，则该港口一天内水位不小于的时长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，先求函数的解析式，再结合正弦函数的图象解不等式即可.
【详解】由题知，解得.
所以.
令，即.
因为，所以，
由正弦函数图象与性质可知，，解得.
所以该港口一天内水位不小于的时长为小时.
故选：C
8. 已知函数，则（ ）
A. 为偶函数，且在上单调递增
B. 为偶函数，且在上单调递减
C. 为奇函数，且在上单调递增
D. 为奇函数，且在上单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦与余弦函数的奇偶性以及单调性，结合函数奇偶性与单调性的定义，可得答案.
【详解】由题意可得的定义域为，
，
所以为偶函数.
设，则，，
所以，，，
于是，即，
所以在上单调递减.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各角中，与20°终边相同的角为（ ）
A. B. 200°C. 370°D. 380°
【答案】AD
【解析】
【分析】根据终边相同角的定义，可得答案.
【详解】与终边相同的角的集合为，
当时，；当时，.
故选：AD.
10. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数为偶函数
C. 不等式的解集为
D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用幂函数的概念求解析式，从而可判断ABC，利用分段函数单调性，结合分界点的端点值大小比较，可判断D.
【详解】由幂函数的定义，知，故，所以，A错误；
由，得函数为偶函数，B正确；
由，得，解得，C正确；
若函数在上单调递增，必有解得，D错误.
故选：BC.
11. 已知函数（，）的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的最小正周期为，则
B. 若，则函数的图象关于点对称
C. 若，且的最小值为，则
D. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据对称轴确定与的关系.根据周期，可确定的值，再结合求出的值，判断A的真假；根据的值，结合求出的值，进而可验证B的真假；根据的最小值为，可确定函数周期，进而求，判断C的真假；根据函数在给定区间上的单调性，可确定周期的取值范围，进而确定的取值范围，判断D的真假.
【详解】由函数的图象关于直线对称，知，解得.
对A选项：若函数最小正周期为，则，.
又，所以，A正确；
对B选项：当时，，
又，所以，所以.
令，解得，令，得，
所以函数的图象关于点对称，B正确；
对C选项：由三角函数的图象和性质，知，解得，所以.
又，所以，C错误；
对D选项：由函数在区间上单调递增，得，
又，解得.
又时，与矛盾，所以.D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式进行计算即可.
【详解】若扇形圆心角为，半径为，则弧长为：.
所以扇形的半径为.
故答案为：
13. 函数的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】先利用诱导公式把函数化成的形式，再结合正弦函数的值域求函数的最大值.
【详解】因为，
所以（当，即，取“”）.
故答案为：1
14. 已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】通过逐步分析画出在一个周期内的函数图象，根据长度的最小值得到等量关系，解方程可得结果.
【详解】令，则原函数可化为，
∴，的最小正周期为，
作出在上的函数图象，如图1，
∴在上的函数图象如图2，
由得，，的最小正周期为，故在的图象如图3，
如图，当点为一个周期内的最高点和最低点时，的长度最小，此时，
∵，
∴，即，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知角终边经过点.
（1）求，，的值；
（2）求的值.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义，结合题干中的已知点，可得答案；
（2）根据三角函数诱导公式，可得答案.
【小问1详解】
由题知，
所以，，.
小问2详解】
.
16. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求的最小值及此时的值.
【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为，
（2）时，的最小值为
【解析】
【分析】（1）利用整体代入法求得函数的单调区间；
（2）根据三角函数最值的求法求得的最小值及此时的值.
【小问1详解】
令，，
得，，
令，，
得，，
故函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为，.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以，所以的最小值为，
此时，解得，
所以时，的最小值为.
17. 已知函数（且，）的图象过点，.
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把已知点代入函数解析式，解方程组可求的值，得函数的解析式.
（2）分析函数的单调性，根据单调性，把函数不等式转化成代数不等式，再分离参数，利用基本不等式求最值即可.
【小问1详解】
因为函数的图象过点，，
所以，解得.
故.
【小问2详解】
因为，，都为增函数，且，
所以函数在上单调递增，
所以不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立.
设，则，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故实数的取值范围是.
18. 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数；
（3）从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率的性质求 ，再根据平均数运算求解；
（2）分位数表示频率分布直方图中从第一组开始往后累加的矩形面积之和为0.4, 运算即可求解.
（3）先根据分层抽样求参赛成绩在的人数，再结合古典概型运算求解.
【小问1详解】
第一至第五组对应的频率分别为；；
；；，
所以，解得，
所以参赛歌手的平均成绩为分.
【小问2详解】
由，，
得参赛歌手成绩的分位数为分.
【小问3详解】
由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，；
在的人数为人，分别记为，.
在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件，
这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件，
故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为.
19. 若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值；
（3）讨论在上零点的个数.
【答案】（1）
（2）
（3）详见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得函数的周期性以及对称轴，可得答案；
（2）由函数变换可得新函数的解析式，根据余弦函数的奇偶性以及诱导公式，可得答案；
（3）由函数解析式以及零点定义，建立方程，求得零点，分情况建立不等式组，可得答案.
【小问1详解】
由，得，
所以是周期为6的函数，
由，得，
所以是的一条对称轴，
因为函数为“函数”，所以，
是的一条对称轴，所以.
因为，所以，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
得到函数，
再将所得图象向左平移个单位长度，
得到，
因为的图象关于轴对称，
所以，解得.
因为，所以时，取最小值，为.
【小问3详解】
由（1）知，.
令，得，
所以或，
解得或.
因为最小正周期，所以时至多有2个零点.
若，则，此时在上零点的个数为2；
若，则，此时在上零点的个数为1；
当时，，此时在上零点的个数为0；
当时，此时，此时在上零点的个数为1.
综上，，则：
当时，在上零点的个数为0；
当或时，在上零点的个数为1；
当时，在上零点的个数为2.