江西省百师联盟2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试题（含解析）

这是一份江西省百师联盟2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了 函数的图象大致是， 下列关于角的说法正确的是， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在中，“”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】在中，，一方面，若，则，所以；
另一方面，若，取，则；
所以““是““的充分不必要条件．
故选：B．
2. 函数为上的奇函数，则的值可以是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦函数的性质，列式求解并赋值得答案.
【详解】由函数为上的奇函数，得，
解得，当时，，所给其他均不存在整数使其成立.
故选：C
3. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数、幂函数与对数函数的单调性，分别判断与1，2的大小关系即可.
【详解】因为，
所以．
故选：A．
4. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.
【详解】因为角的终边过点，所以，
所以．
故选：A．
5. 抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（ ）
A. M是不可能事件B. N是必然事件
C. 不可能事件D. 是必然事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件的定义判断．
【详解】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件，
是点为2，是随机事件，是可能发生的，
是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件，
故选：D．
6. 已知与满足，若的中位数为6，则的中位数为（ ）
A 6B. 12C. 15D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】由于中，与 成正比，记 为的中位数，则中对应的中位数为.； 从而求出的中位数.
【详解】解：记 为的中位数，为中对应的中位数
因为，，
所以
故选C.
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性排除两个选项，再结合函数值的正负得正确结论．
【详解】由题意函数定义域，
又，是奇函数，排除AB，
又在时，，，即，排除C，
故选：D．
8. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件求出的范围，结合余弦函数的图象可求的取值范围.
【详解】当时，．
因为在上有且仅有2个零点，
所以，解得．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于角的说法正确的是（ ）
A. 终边在第二象限的角的集合为
B. 与终边相同的角的集合为
C. 若角，则角是第四象限角
D. 若角是三角形的一个内角，则角必是第一、二象限角
【答案】AC
【解析】
【分析】写出终边在第二象限的角的集合可判断A；写出与终边相同的角的集合可判断B；由可判断C；举反例可判断D.
【详解】对于A，终边在第二象限的角的集合为
，故A正确；
对于B，与终边相同的角的集合为，故B错误；
对于C，，所以和的终边相同，
故是第四象限角，故C正确；
对于D，当三角形其中一个内角为直角时，该角终边不在任何象限，故D错误.
故选：AC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用周期公式可判断A；由求出的范围再根据正弦函数的单调性可判断B；利用代入验证法可判断C；根据平移规则可判断D.
【详解】对于A，的最小正周期为，A正确.
对于B，当时，，在上单调递增，B正确.
对于C，，的图象不关于直线对称，C错误.
对于D，的图象可由函数的图象向右平移个单位得到，D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为B. 在定义域内单调递减
C. 的最大值为D. 的图象关于直线对称
【答案】AD
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域判断A，应用对数及二次函数复合的单调性及值域判断B,C,根据二次函数的对称性判断复合函数的对称性判断D.
【详解】解得，即的定义域为，A选项正确．
，令，则．
二次函数的图象的对称轴为直线，
又的定义域为的图象关于直线对称．D选项正确．
由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误．
当时，有最大值，，C选项错误．
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知为第二象限角，，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方关系以及角的范围求得正余弦，再根据商数关系得正切的值.
【详解】因为为第二象限角，所以，
由解得所以．
故答案为：．
13. 函数的最小值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用分离常数整理函数，根据三角函数的值域以及不等式性质，可得答案.
【详解】，因为，
分母不为0，则，则，得，
故函数的最小值为1．
故答案为：.
14. 函数，其中．
（1）若，则的零点为___________；
（2）若函数有两个零点，则的取值范围是____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】若，直接解方程即可；若函数有两个零点，解方程结合基本不等式求最值.
【详解】当时，，
令，则，故，所以的零点为.
（2）令，则，故，
由于，所以，因此，
由于，
由基本不等式可得，
当且仅当，即时取等号，
故的取值范围为．
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由诱导公式即可化简；
（2）由诱导公式结合计算即可得解；
（3）结合诱导公式将代入计算可得解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，所以，
又因为是第三象限角，所以，
所以.
【小问3详解】
当时，.
16. 某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度．
（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值．
【答案】（1）
（2），当时，y取得最大值，最大值为
【解析】
【分析】（1）通过表示出扇环形花坛的周长即可得出θ关于x的函数关系式；
（2）列出y关于x的函数关系式，利用基本不等式求最大值即可.
【小问1详解】
由题意得，故．
【小问2详解】
花坛的面积为．
装饰总费用，
所以花坛的面积与装饰总费用的比为．
令，则，则，
当且仅当，即时，
y取得最大值，最大值为，此时，．
故当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．
17. 已知函数，，其中为自然对数的底数.
（1）若，求；
（2）设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求的值即可；
（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等式成立.
【小问1详解】
由，则，
【小问2详解】
由题意，得：.
①当时，，
在内单调递增，又，
由于，而，
，又，
由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.
当时，，则，
，则在上无零点；
当时，，
，则在上无零点.
综上，在上有且仅有一个零点.
②由①得，且，
则，.
由函数的单调性得函数在上单调递增，
则，故.
【点睛】关键点点睛：已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式，三角恒等变换的公式来进行求解，判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.
18. 已知函数，
（1）若，函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）若，，求函数在上的值域；
（3）若，函数在内没有对称轴，求的取值范围
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1），，可求的取值范围；
（2），时，，由正弦函数单调性求函数在上的值域；
（3）由题可得， 根据三角函数的性质可得或，进而可求的取值范围.
【小问1详解】
时，，
函数在区间上单调递增，由，，
则，解得，
所以的取值范围为；
【小问2详解】
若，，，
时，，，
所以函数在上的值域为；
【小问3详解】
若，函数，
因为在内没有对称轴，则，由，得，
所以，，
因为在内没有对称轴，且，，
所以或，
因为，解得或
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
正弦型函数在区间内没有对称轴，则区间为函数的单调区间，区间长度小于半个周期.
19. 设函数．
（1）求函数在上的最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；
（3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最小值；
（2）恒成立需要保证即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到的范围；
（3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出的范围.
【小问1详解】
令，
则．
①当，即时，．
②当，即时，．
③当，即时，．
综上可知，；
【小问2详解】
令，由题意可知当时，，而的图象是开口向上的抛物线的一部分，
最大值一定在端点处取得，所以有，
解得，故的取值范围是；
【小问3详解】
令.由题意可知，当时，
关于的方程有两个不等实数解，
所以原题可转化为，
即在内有两个不等实数根，
令则有，
解得，
故的取值范围是.