江苏省无锡市运河实验中学2024-2025学年高一下学期3月练 数学试题试卷（含解析）

这是一份江苏省无锡市运河实验中学2024-2025学年高一下学期3月练 数学试题试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基底满足的条件逐一分析即可.
【详解】对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：设存在唯一实数使，
则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确.
故选：.
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量，求出实数值.
【详解】因为向量，，可得，
因为，所以，解得：，
故选：C
3. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，由余弦定理得，进而求出，再在中，利用正弦定理得解.
【详解】由题意，在中，由余弦定理得；
因为，所以，
在中，由正弦定理所以，
解得.
故选：D
4. 如图，在中，已知是边上的一点，，则的长为（ ）

A. B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理正弦定理可得答案.
【详解】在中，，
因为，所以，
在中，.
故选：B
5. 若，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量夹角的坐标公式求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：.
6. 在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即得.
详解】依题意，，即，由，得，
所以的取值范围是.
故选：C
7. 在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角、切化弦，再结合二倍角公式求解即得.
【详解】在中，由及正弦定理得，而，
整理得，即，而，
则，因此或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
8. 如图，已知点是边长为2的正三角形的边上的动点，则（ ）

A. 最大值为8B. 为定值6
C. 最小值为2D. 与的位置有关
【答案】B
【解析】
【分析】因为共线,所以设,再代入求解即可.
【详解】因为共线,故,.
所以
.
故选：B
【点睛】本题主要考查了共线向量的运用以及数量积的转换计算,属于中档题.
二、多选题
9. 已知在中，角的对边分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则必是等边三角形
B. ，，则的外接圆半径是2
C. 若，则
D. 若，则一定是锐角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，由余弦定理得，即为等腰三角形；对于B，根据正余弦定理得即可；对于C，由正弦定理及可得，根据的取值范围即可判断；对于D，余弦定理得，即角为锐角，不能判断角也为锐角.
【详解】对于A，由余弦定理，
化简得，故为等腰三角形，故A错误；
对于B，由正弦定理得，所以外接圆半径为，故B正确；
对于C，由正弦定理及可得，即，所以，故C正确；
对于D，由余弦定理得，所以角为锐角，不能判断角也为锐角，所以D错误.
故选：BC.
10. 已知点在所在平面内，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则是的外心
B. 若，则是的重心
C. 若，则是的垂心
D. 若，则是的内心
【答案】ABC
【解析】
【分析】A.由，得到判断； B.设AB的中点为D，得到，再根据，利用共线向量定理判断； C. 根据，利用向量的数量积运算判断； D. 由，转化为化简判断.
【详解】A. 因为，所以，所以是的外心，故正确；
B. 如图所示：
设AB的中点为D，所以，因为， 所以，所以是的重心，故正确；
C. 因为，所以，则，同理，所以是的垂心，故正确；
D. ，所以即，则，得不出是的内心，故错误；
故选：ABC
11. 已知向量，，满足，，，则（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 在上的投影向量的坐标为
【答案】BC
【解析】
【分析】由向量坐标的线性运算，利用向量模长公式，可得A的正误；由平行向量的坐标表示，建立方程，可得B的正误；由向量坐标的线性运算，利用垂直向量坐标，可得C的正误；利用投影向量的计算方法，可得D的正误.
【详解】对于A，，，，所以，故A错误；
对于B，，，当时，，即，故B正确；
对于C，，由，可得，即，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，故D错误，
故选：BC.
三、填空题
12. 在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．
考点：解三角形.
【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．
13. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，则山高MN＝__m．
【答案】500
【解析】
【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，从而可求得MN．
【详解】在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m．
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，
由正弦定理得，，因此AM＝1000m．
在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，
由＝sin30°得MN＝500m；
∴山高MN＝500．
故答案为：500．
14. 在平面四边形中，，若为边上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积的坐标表示结合二次函数的性质即可得解.
【详解】如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
故，
所以当时，取得最小值.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
四、解答题
15. 已知向量.
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值；
（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可.
【小问1详解】
由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得.
【小问2详解】
若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，
即可得，
解得且，
即实数的取值范围为且
16. 在中，角、、所对的边为、、，已知.
（1）求角的值；
（2）若为边的中点，且，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的可得出角的值；
（2）由题意可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算性质得出关于的等式，解出的值，结合三角形的面积公式可求得结果.
【小问1详解】
由余弦定理可得，因为，故.
【小问2详解】
在中，因为为边的中点，所以
故，即，
所以，，即
解得或（舍），
所以.
17. 如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点．
（1）试用表示和；
（2）若，求．
【答案】（1）,
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，设，根据平面向量共线定理的推论求出，即可求出；
（2）首先用、表示出、，再根据数量积的运算律及定义计算可得.
【小问1详解】
因为，所以，
设，所以，
又三点共线，所以，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，
设，
又三点共线，所以，解得，所以，
所以，
又，即，
即，解得或（舍去）.
18. 已知的内角所对的边分别为，．
（1）求；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知根据三角恒等变换结合正弦定理可得，由角的范围即可求解；
（2）将两边完全平方可得，根据面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以；
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
解得或，因为，所以，
所以.
19. 已知向量.
（1）求的取值范围；
（2）记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围.
【小问1详解】
（1）因为，
可得
，
因为，所以.
【小问2详解】
解：由题意得
，可得，
因为，由正弦定理得，
所以，所以，
又因为，则，且，所以，
因，所以，所以，则，
则，所以函数值域是.