江苏省常州市北郊高级中学2024-2025学年高一下学期3月阶段调研 数学试题（含解析）

这是一份江苏省常州市北郊高级中学2024-2025学年高一下学期3月阶段调研 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了 已知向量满足，，则， 下列各式中，值不为1的为， 已知，且，则下面正确的为， 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
（时间120分钟 满分100分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量满足，，则
A. 4B. 3C. 2D. 0
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
2. 已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，可得，即求．
【详解】点在线段的延长线上，且，
，即,
所以．
所以点P的坐标为.
故选：D.
3. 如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用向量的线性运算把向量分解成形式即可得答案.
【详解】∵，
∴，
故选：B．
4. （ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】通过切化弦，结合二倍角公式可得，根据诱导公式计算可得结果.
【详解】由题意得，
，
∵，
∴.
故选：A.
5. 已知平面向量，若，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对式子两边同时平方，得到，再利用两个向量的数量积代入数值即可求得结果.
【详解】因为，所以，
又因为，，
即，解得，
解得.又因为，故向量与向量的夹角为.
故选：B
6. 下列各式中，值不为1的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于选项A和选项C：利用两角和的正切公式即可；对于选项D,选项B：利用两角和的正弦余弦公式.
【详解】对于，A正确；
对于B，，B不正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：B
7. 已知，且，则下面正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知，则可依据其范围求，以及再利用两角和差公式计算.
【详解】对于A，因为，则，A错误；
对于B，因为，
所以，B错误；
对于C，
，故C错误.
对于D，，D正确.
故选：D.
8. 如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数.
【详解】由共线，则，，
所以①，
由共线，则，，
所以②，
由①②知：，则，故，
由，则，
由共线，则，可得.
故选：A
【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若角为锐角，则为钝角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C. 若角的终边过点，则
D. 若，且，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A：举反例即可判断；对于B，利用扇形的弧长与面积公式即可求得；对于C：利用三角函数的定义即可求得结果；对于D：先对式子两边平方得到，再利用齐次化方程即可求得正切值，又判断角在第二象限且即可求得结果.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，设扇形的半径为，则，解得，所以扇形的面积，故B正确；
对于C，若角的终边过点，可得，故C错误；
对于D，因为，即，
整理得：，所以，
所以，解得或，
因为，所以角在第二象限，
且，所以，故D正确.
故选：BD
10. 如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用向量的线性运算即可判断AB；对于CD，利用向量的线性运算与数量积运算即可判断.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，由题意得为的中点，所以，B不正确；
对于C，因为为中点，，则，
所以，则，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD.
11. 函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且函数图象与函数图象有相同的对称中心，则（ ）
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 在区间上存在函数图象的2个对称中心
D. 若函数在区间上单调递增，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由与函数图象有相同的对称中心求得的解析式，再由平移求得，然后根据正弦函数性质判断各选项．
【详解】因为函数gx=sinωx+φ+bω>0,φ12，
所以，
所以
当时，.
,
,
故答案为：或.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据A，E，C三点共线，得，即可列等量关系求解，
（2）根据坐标运算即可求解，
（3）根据向量相等即可列方程求解.
【小问1详解】
．
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得；
【小问2详解】
．
【小问3详解】
因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以．
设，则．
因为，所以，解得，
即点A的坐标为．
16. 在如图所示的直角坐标系中，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，设.

（1）用表示，并求的最大值；
（2）求最小值.
【答案】（1），最大值为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，则，根据平面向量线性运算的坐标表示得到，再由辅助角公式及正弦函数的性质计算即可.
（2）利用坐标法表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
由题设，
，则，

所以，
由，得，
即，解得，
所以；
所以当时，取得最大值，且.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
；
因为，所以当，即当时，取得最小值是.
17. 为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，.
（1）当时，求的面积；
（2）求三角形区域面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用锐角三角函数的定义求出 、 的长，然后根据面积公式算出 的面积；
（2）根据题意，用关于 的三角函数式表示出三角形区域 的面积 ，然后根据换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质求出三角形区域 面积的最大值.
【小问1详解】
设 与 相交于点 ，则 ，
可得 ， ，
因为 等于 到 的距离，
所以，
即 的面积为 .
【小问2详解】
过点 作 于点 ，则 ，
且三角形区域 面积为
，
设 ，由 ，得
所以 ，
结合 ，可得
当 时， 取得最大值，
即三角形区域 面积的最大值为 .
18. 把函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的值域；
（3）若在区间上存在最大值，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式，和“左加右减”变化得到，再利用关于y轴对称，即函数为偶函数，即可列出等式求出结果.
（2）因为，所以，利用正弦函数的单调性即可得到值域.
（3）利用正弦函数的增区间，得到的增区间，再利用在区间上存在最大值且在此区间上先是增函数，且，再利用性质可得答案.
【小问1详解】
因为，
所以把的图象向左平移个单位长度得到函数
的图象，
因为关于轴对称，所以，
又因为，所以，
所以最小正周期；
【小问2详解】
因为，所以，所以，
所以在区间上的值域为；
【小问3详解】
由，
当时，的单调递增区间为，
所以在上单调递增；
若函数在上存在最大值，在上单调递增，
且，即在时取得最大值，
所以，即实数的取值范围为
19. 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.
（1）若，当k为何值时，与垂直？
（2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值.
（3）若的最小值为1，求的值.
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和数量积的关系即可求出结果；
（2）由向量的线性运算和共线的条件得到，即可得到，再用基本不等式计算；
（3）由向量的数量积的定义得到，再由模长的计算得到，结合二次函数的性质解出即可.
【小问1详解】
因为，
所以由余弦定理得，即，所以.
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
【小问2详解】
因为为的重心，所以，
又因为，所以，
由于三点共线，所以存在实数使得，所以
化简为，所以，所以.
显然，则，
当且仅当时，即时，取最值
则的最小值为2.
【小问3详解】
设与的夹角为，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值1时，．
【点睛】知识点点睛：本题考查了余弦定理解三角形,向量垂直和数量积的关系,向量的线性运算和共线的条件，基本不等式计算最值，二次函数的性质.综合性特别强，转化能力要求高，属于难题