北京市十一学校2024-2025学年高三下学期2月教与学诊断数学试题（解析版）

这是一份北京市十一学校2024-2025学年高三下学期2月教与学诊断数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10题，每题4分，共40分）
1. 已知集合，且，则（ ）
A. B. 1C. D. 0
【答案】A
【解析】
分析】根据题意结合集合相等列式求解即可.
【详解】因为集合，且，
则，解得.
故选：A.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘方和模长公式求解即可.
【详解】设，则，
所以，解得，
所以，
故选：C
3. 若且，则实数m的值为（ ）
A. 1B. C. D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】采用赋值法令代入计算可得结果.
【详解】令可得，
因此可得，解得或.
故选：D
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取特殊值代入验证可得AB错误，对的符号进行分类讨论可判断C正确，再由指数函数单调性可得D错误.
【详解】根据题意不妨取，
代入检验可得不成立，即A错误；
此时，可得B错误；
对于C，当时，此时，即；
当时，此时，即；
当时，显然；
综上可知当时，成立，即C正确；
对于D，因为指数函数为单调递减函数，因此时，，可知D错误.
故选：C
5. 已知直线和圆相离，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由圆的方程求得圆心的坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用直线与圆相离，列不等式求解即可.
【详解】化圆为，
得圆心坐标为，半径为，解得：，
所以圆心到直线的距离，
因为直线与圆相离，所以，所以，解得：.
所以m的取值范围为.
故选：B.
6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和二次函数性质，根据分段函数单调性求出各段所满足的条件即可.
【详解】根据题意若函数为单调递增，可得；
若函数为单调递增，可得，即；
若保证在R上单调递增,还需满足，解得；
综上可得，a的取值范围为.
故选：D
7. 已知数列是等差数列，其前n项和为，则“，使得”是“，使得”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】对等差数列的公差进行分类讨论可知充分性成立，再由等差数列前n项和公式可得必要性成立，可得结论.
【详解】根据题意可知，若等差数列的公差为0，
可知“，使得”一定能推出“，使得”，
若等差数列的公差为，
由“，使得”可知都为正数，
因此一定能推出“，使得”；
若等差数列的公差为，
由“，使得”可知都为正数，
当尽量小时，一定能推出“，使得”，
综上可知，充分性成立；
若，使得，即，即可得；
因此至少有一项大于零，即“，使得”，
所以必要性也成立；
即“，使得”是“，使得”的充要条件.
故选：C
8. 已知双曲线的右焦点为F，原点为O，若双曲线上存在两个点A和B，使得四边形为正方形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】做出图形并利用正方形性质得出在双曲线上，联立方程组解得离心率.
【详解】如下图所示：
易知，又因为四边形为正方形，可得,且
因此可得，‘
设其离心率为，易知；
代入双曲线的方程可得，又，
联立可得，解得或（舍）；
所以.
故选：B
9. 如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（ ）
A. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
B. 平面平面
C. 存在点，使得平面
D. 存在点，使得
【答案】D
【解析】
【分析】利用线面平行判定定理证明即可判断A正确，以为坐标原点建立空间直角坐标系，由法向量的关系可证明得出B正确，易知当点为的中点时，使得平面，可得C正确，由空间向量证明可得，可得D错误,
【详解】对于A，取的中点为，连接，如下图所示：
由中位线性质可得，显然，所以,
即可得四点共面，即四边形即为平面截正方体所得截面，
易知，所以四边形为等腰梯形，即A正确；
对于B，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
设正方体的棱长为2，可得，
易知，
设平面的一个法向量为，
可得，解得，令，可得；
所以
易知，
设平面的一个法向量为，
可得，解得，可得，；
所以，
显然，即，所以平面平面，即B正确；
对于C，取的中点为，连接，如下图所示：
当为的中点时，可得，且，
又且，可得，
即四边形为平行四边形，可得，
又平面，平面，即平面；
所以存在点为的中点时，使得平面，可得C正确；
对于D，由B选项中空间直角坐标系如下图所示：
可得，即，
设，则；
此时，即不成立；
所以不存在点，使得，即D错误.
故选：D
10. 在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，其表达式为：，其中自变量L，K分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值Q表示产量，常数A是代表生产技术水平的参数，常数分别表示劳动和资本的产出弹性系数.已知在某企业中，，且时，时，则当时，对应的约为（ ）
参考数据：，，，，
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数模型代入所给数据可得，利用换底公式计算可得，可求出结果.
【详解】由可得表达式为，
代入数据可得，解得；
当时，可得，所以，
即，因此，所以可得，
因此，可得，
即，即；
根据参考数据，可得约为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给函数模型求出对应参数，再利用对数运算法则以及换底公式即可求出结果.
二、填空题（共5题，每题5分，共25分）
11. 抛物线上的点到其焦点F的距离的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据抛物线定义结合抛物线上点的范围可求出答案.
【详解】设抛物线上的点为，易知；
可得抛物线的准线方程为，
由抛物线定义可知，
当时，距离的最小值为.
故答案为：2
12. 写出满足的一组和，______，______．
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】利用所给条件以及两角和的正弦公式，结合诱导公式计算可得结果.
【详解】由可得，
即可得，
不妨取，所以，
又，可取，，
所以.
故答案为：，（答案不唯一，符合题意即可）
13. 如下图，在梯形中，，，，，，则______，若是线段上的动点，且，则的最小值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的计算公式和坐标表示求解即可.
【详解】因为梯形中，，，所以，
所以，解得.
以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系，
由对称性不妨设点点左侧，设，，，
则，，，
所以，
所以当时，取得最小值，
最小值为，
故答案为：；
14. 如图，函数的图象和函数的图象的连续两个交点为，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对称性知，即为等腰三角形，结合三角函数的周期，求出三角形的底和高，利用列不等式求解即可.
【详解】如图，
根据对称性知，即为等腰三角形，
三角函数的周期，且，取的中点，连接，
则，
由，得或，
则，
则，
因为，所以，解得，
即，解得，所以的取值范围为.
故答案为：
15. 已知数列满足，则下列说法中，正确的是______
①当时，对任意的，数列一定是有限数列；
②当，时，若数列是无限数列，则数列一定单调递增；
③存在，使得对任意的k，数列都一定是有限数列；
④存在一组k和，使得数列是单调递减的无限数列．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①分和两种情况讨论；②根据数列为无限数列得到，然后证明单调性；③当时，令，解得，只要满足此条件，可以推证数列一定是无限递增数列，从而否定③；④取k=1-1e,a1>e，可以证明数列一定是无限递减数列，从而肯定④.
【详解】①当时，，
当时，数列只有1项；
令fx=lnx−x+1(x>0)，则，
当时，，时，，
所以在上单调递增，上单调递减，则，即，
当时，设a10，则，，，
因为，则无意义，
所以数列必在项前终止，
所以数列为有限数列，故①正确；
②当，，an+1=lnan+an(an>0,n∈N*)，
因为数列为无限数列，
若，则，
同理
所以a2-a3=a1-a2+lna1-lna2>a1-a2>0，...，an-an+1=an-1-an+lnan-1-lnan>an-1-an>0，
所以数列是递减数列，且递减幅度越来越大，但，这不可能，
所以，此时，，同理可得，
所以数列单调递增，故②正确；
③令hx=x−lnx(x>0)，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，上单调递增，则hx≥h1=1>0，即，
当时，令，解得，
则当，时，，
所以，
同理可得，数列单调递增，为无穷数列，
所以不存在，使得对任意的，数列一定是有限数列，故③错误；
④取k=1-1e,a1>e，
令u(x)=lnx-xe(x>0)，则在上恒为负，故在上单调递减，
所以当时，，所以，
所以，
令，它显然在上单调递增，
所以当时，v(x)>v(e)=e，
所以a2=v(a1)>e，
综上，，
同理
使得数列是单调递减的无限数列，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点点睛：找到一个函数，（），使得它与直线相切，是④中构造成功的关键.
利用熟知的相切，可以知道相切，从而的相切，
可以构造成功④中的例子.
三、解答题（共6题，16题15分，17题12分，18题13分，19-21题15分，共85分）
16. 如图，在三棱柱中，，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）已知平面，
①求二面角的正弦值：
②点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用三棱柱形质以及中位线性质，根据线面平行判定定理证明即可得出结论；
（2）①建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的余弦值即可得出其正弦值；
②利用空间距离的向量求法代入计算可得结果.
【小问1详解】
取的中点为，连接，如下图所示：
M为棱的中点，的中点为，可得且；
又易知，且，所以，；
又，所以；
由三棱柱性质可得，因此，
所以，可知四边形为平行四边形；
可得，又平面，平面；
所以平面
【小问2详解】
①由已知平面，可得；
又，可知两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
易知，
可知，
设平面的一个法向量为，
所以，令，可得，
因此法向量可以为，
又易知平面与轴垂直，所以平面的一个法向量可以为；
则；
因此二面角的正弦值为；
②由（1）可知，平面的法向量可以为，
又，
所以点到平面的距离为.
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为．从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：① ②③．
（1）求的值；
（2）当时，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）经判断可知选择①③时存在，利用正弦定理和余弦定理计算可得结果；
（2）由可得，代入三角形面积公式计算可得结果.
【小问1详解】
若选择①②，
由可知，或，因此或，
结合可知，选择①②时，不存在；
若选择②③
由利用正弦定理可得，
又，可得，显然不成立，
即选择②③，也不存在
若选择①③，利用正弦定理可得，即，
又，可得，此时存在；
所以可得；
【小问2详解】
由可得，
由可得；
所以的面积为.
18. 某大学附属中学高三年级同时选考物理、化学、生物的学生共有400人，其中A类班型140人，B类班型180人，C类班型80人，现采用分层抽样的方法，从该年级的所有同时选考物理、化学、生物的学生中抽取20人，调查其各科在考试中“失误丢分多于5分”的情况，并按照班型进行各专项人数汇总，数据统计如表：
若同一学生不同学科是否“失误丢分多于5分”相互独立，不同学生同一学科是否“失误丢分多于5分”也相互独立.
（1）在抽取的20人中，A类班型、B类班型、C类班型各有多少人；
（2）从上表中物理“失误丢分多于5分”的学生中随机选取2人，记为选出的B类班型的人数，求的分布列和数学期望：
（3）从A、B、C三类班型中各随机抽取一人，将其“失误丢分多于5分”的科目数量记作，，，直接写出它们的期望，，的大小关系.
【答案】（1）7人，9人、4人；
（2）分布列见解析，期望；
（3）
【解析】
【分析】（1）计算出抽样比可直接求得各类班型抽取的人数；
（2）求出的所有可能取值及其对应的概率，可求得分布列和期望值；
（3）根据表格数据可知各类班型“失误丢分多于5分”的科目数量，再利用样本估计总体的思想可知期望值，即可比较出大小.
【小问1详解】
根据题意可知抽样比为，
又因为A类班型140人，B类班型180人，C类班型80人，
所以A类班型抽取7人，B类班型抽取9人、C类班型抽取4人.
【小问2详解】
物理“失误丢分多于5分”学生共有8人，其中A类班型2人，B类班型5人、C类班型1人；
的所有可能取值为，
易知，，；
因此的分布列为：
数学期望.
【小问3详解】
根据表格可知，在抽取的20人中“失误丢分多于5分”的科目数量分别为A类班型13个，B类班型21个，C类班型8个；
又因为A类班型抽取7人，B类班型抽取9人、C类班型抽取4人.
所以利用样本估计总体的思想可知，
可得.
19. 已知椭圆方程，椭圆上有三个点，，．
（1）求椭圆的标准方程，并求椭圆的离心率：
（2）设是椭圆上的动点，且直线关于直线对称，求直线的斜率.
【答案】（1）方程为,离心率为；
（2）
【解析】
【分析】（1）将两点代入椭圆方程解方程即可求得椭圆方程和离心率；
（2）设直线的方程并与椭圆联立，解得两点的坐标表示，即可求得的斜率.
【小问1详解】
根据题意将代入椭圆方程可得，解得；
再代入点坐标，可得，可得；
所以，
因此椭圆的标准方程为，离心率为.
【小问2详解】
如下图所示：
因为两点关于轴对称，且直线关于直线对称，所以直线的斜率均存在，且互为相反数，
即；
设，则直线的方程为，
联立，可得，
显然是该方程的根，所以，可得；
即
因为，
同理可得，
可知
因此直线的斜率为.
20. 已知函数，直线l为曲线在点处的切线.
（1）当时，求出直线的方程；
（2）若，求的最值；
（3）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）最小值为，无最大值
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）对求导，利用导函数的正负判定的单调性，进而求出最值即可；
（3）求出直线，将“直线与曲线相交”转化为关于的方程在有解，然后通过构造函数，对进行分类讨论，结合导数可求得结果.
【小问1详解】
由题意可得，
所以曲线在点处的切线斜率，
切线方程为，整理得，
所以当时，直线的方程为.
【小问2详解】
因为，，则，
由解得，由解得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以当时，取得最小值，无最大值.
【小问3详解】
由（1）得切线的方程为，
因为直线与曲线相交于点，且，
所以关于的方程在有解，
令，则，
令，则，
①当时，由，得，由，得，
所以在上递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以存在唯一实数，使，
当时，，则，
所以在上单调递增，
当时，，则，
所以在上单调递减，
所以，
因为，所以存在唯一实数，使，
所以符合题意；
②当时，由，得，则在上单调递减，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上无零点，所以不符合题意，
综上，即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：当一阶导数无法求得函数的单调区间时，可考虑利用二阶导数进行求解，通过二阶导数的符号来确定一阶导数的单调性，符号，从而可确定原函数的单调性.
21. 对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定．
（1）若，，请直接写出集合和；
（2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由；
（3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由.
【答案】（1），
（2）最大值为31，最小值为11
（3）最小值为13，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据新定义计算；
（2）根据新定义可得当集合中的数字由大于1的因子组成时，中元素个数最大，当集合中的数字构成等比数列时，中元素个数最小，然后求最值即可；
（3）对集合和分类，得到，，然后分和两种情况讨论即可.
【小问1详解】
，.
【小问2详解】
最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有31个元素，
可能构造如下：，
则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中数字由大于1的因子组成；
最小值：不妨设，显然有，
则，
则至少有11个元素，
可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可.
【小问3详解】
中至少有13个元素，可能得构造如下：，
所以，
证明如下：
考虑对集合进行分类：，，A3=aa∈A,a>1，
设，，，表示集合中元素的个数，
则，，
设，在对集合进行分类：
，，B3=bb∈B,b>1，
设，，，分析与的关系：
对集合中的元素：，则，
则①；
对集合中的元素：②；
对集合中的元素：，
则，
则③；
①+②+③得到
，
因为，则当时，，当或时等号成立；
当时，，当且仅当时等号成立，
从而元素个数至少为13.
【点睛】方法点睛：新定义题目解题策略：
①仔细阅读，理解新定义内涵；
②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
“失误丢分多于5分”人数
语文
数学
英语
物理
化学
生物
A类班型
4
1
2
2
1
3
B类班型
6
2
1
5
1
6
C类班型
1
2
1
1
2
1
0
1
2