四川省遂宁市2022-2023学年高二下学期期末监测数学试题

遂宁市高中2024届第四学期期末教学水平监测

数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（5×12=60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.    40       14. 且    15.                16.    3    

三、解答题

17. 【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为

由条件可得.所以..................................................................2分

所以........................................................................................3分

当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；...............................................4分

当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为...................................................5分

（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为

将点的坐标代入抛物线的标准方程得...........................................6分

此时，所求抛物线的标准方程为；................................................................7分

当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，

将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，................................8分

此时，所求抛物线的标准方程为.....................................................................9分

综上所述，所求抛物线的标准方程为或........................................10分

18. 【详解】（1）因为函数的图象过点,所以..1分

又因为,且点P处的切线恰好与直线垂直,

所以,........................................................................................3分

由解得,所以.......................................5分

（2）由(1)知，

令，即，解得或，

令，即，解得，..................................................7分

所以在单调递增，单调递减，单调递增，..............9分

根据函数在区间上单调递增，

则有或..................................................................................................11分

解得或......................................................................................................12分

19. 【详解】【详解】（1）由题知

...............................5分

因为，所以认为相关变量有较强的相关性..............................................6分.

（2）由（1）得....10分.

回归方程为

当时，即2023年该公司投入研发人数约540人...............................12分.

20. 【详解】（1）列联表如下：

                      ................................3分..

，.............................................................5分

所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；........6分

（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，

则，     ，    ，    ，

故X的分布列为

......................................................................12分

21. 【详解】（1）双曲线的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标为1分.

又椭圆中，面积最大值，故.................................3分

所以椭圆的方程为：；............................................................................4分

（2）设，由于直线过原点，则，.............................................5分

所以直线的斜率.................................................................7分

（3）由题设，可设直线l为且，联立椭圆方程，

整理得：，则，

所以，即且，

所以，，.....................................................8分

若存在使恒成立，则，.......................9分

由椭圆对称性，不妨令在轴上方且，显然，

所以，即，.............10分

所以，

即11分

综上，，

所以，存在使恒成立........................................................12分

22. 【详解】（1）求导............................................................................1分

①当时，在上递增...........................................................................3分

②当时，在上递减，在上递增.....................5分

（2）①等价于有两个零点，

令，则，在时恒成立，所以在时单调递增，

所以有两个零点，等价于有两个零点..........6分

因为 ，所以

当时，，单调递增，不可能有两个零点；

当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，

所以，

若，得，此时恒成立，没有零点；

若，得，此时有一个零点；

若，得，因为，，，

所以在，上各存在一个零点，符合题意，

综上，a的取值范围为..............................................................8分（方法不唯一）

②要证即证：，

即证，

由（2）中①知，，所以只需证.....................9分

因为，，所以，，

所以 ，只需证..10分

设，令， 则，所以只需证 即证 ，

令，，则 ，，

即当时， 成立...........................................................11分

所以，即.................12分（方法不一）