四川省遂宁中学校2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题含答案

遂宁中学高二数学入学考试

 一、单选题

1．直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

2．命题“，”的否定是（       ）

A．，  B．，

C．， D．，

3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（     ）

① 若 ，则         

②若，则    

③若，则            

④若，则

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

4．某企业生产某种产品，其广告层面的投入为x（单位：百万元），该企业产生的利润为y（单位：百万元），经统计得到如下表格中的数据：经计算广告投入x与利润y满足线性回归方程：，则t的值为（       ）

A．45 B．50 C．56.5 D．65

5．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的为（       ）

A． B． C． D．

6．若直线与平行，则m的值为（       ）

A．－2 B．－1或－2 C．1或－2 D．1

7．执行如图所示的程序框图，输出的值为（       ）

A． B． C． D．

8．设x，y满足约束条件，则的最大值为（       ）

A．0 B．1 C． D．

9．设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（       ）

A． B．

C． D．

10．近期，新冠疫苗第三针加强针开始接种，接种后需要在留观室留观满半小时后才能离开.甲､乙两人定于某日上午前往同一医院接种，该医院上午上班时间为7：30，开始接种时间为8：00，截止接种时间为11：30.假设甲､乙在上午时段内的任何时间到达医院是等可能的，因接种人数较少，接种时间忽略不计.则甲､乙两人在留观室相遇的概率是（       ）

A． B． C． D．

11．我国古代数学名著《九章算术》中有堑堵一说，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，如图所示的“堑堵”中，，，，则“堑堵”的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

12．设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（       ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

 二、填空题

13．某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是_______.

14．某甲､乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是___________.

①甲比乙的极差大；

②乙的中位数是18；

③甲的平均数比乙的大；

④乙的众数是21.

15．直线l : y=-x+m与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是_______.

16．已知平面上任意一点，直线，则点P到直线l的距离为；当点在函数图象上时，点P到直线l的距离为，请参考该公式求出的最小值为__________．

三、解答题

17．已知直线

(1)求过点，且与直线平行的直线的方程；

(2)直线与圆相交于两点，求线段的长.

18．“十一五”规划提出单位国内生产总值（GDP）能耗降低20%左右的目标，“节能降耗”需要长期推行，这既有利于改善环境､可持续发展，又有利于民众生活福祉的改善.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：

(1)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；

(2)当该厂产量提升到10吨时，预测生产能耗为多少.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

19．在正方体中，，，分别是，，的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)求直线与所成角的正切值.

20．某保险公司决定每月给推销员确定具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图：

(1)①根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率；

②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务？并说明理由；

(2)该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率.

 21．如图，在直三棱柱中，点为的中点，，，.

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离.

22．已知直线，圆.

(1)证明：直线l与圆C相交；

(2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；

(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.

遂宁中学高二数学入学考试参考答案：

1．D  2．D  3．C 4．B  5．C   6．C  7．B   8．D   9．B   10．A   11．A   12．A

 【分析】

先把的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是15个，满足条件的事件是9个，即可得出答案.

【详解】

当时，

当且仅当时，取“＝”，

∴，

于是恒成立就转化为成立；

当时， ，

设事件A：“恒成立”，

则基本事件总数为15个，即

（0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；

事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）共9个

所以.

故选：A.

13．73    14．①③④   15．

 曲线表示圆的右半圆，当直线与相切时，，即，由表示直线的截距，因为直线l与曲线有两个公共点，由图可知，所以.

故答案为：.

16．

 令，，

∴表示函数图象上的点到直线的距离，

表示函数图象上的点到直线的距离，

∴目标式几何意义：半圆上的点到直线、的距离之和的倍，

∴最小值为 ．

故答案为：.

17．(1)

(2)

直线的斜率为

直线的斜率为

直线的方程为

即

 (2)

易知圆心，半径

圆心到直线的距离

18．(1)

(2)当产量提升到10吨时，预测生产能耗为6.9吨标准煤

 (1)

解：因为，，

，.

所以，

所以，

所以y关于x的线性回归肪程为.

(2)

解：当时，，

所以当产量提升到10吨时，预测生产能耗为6.9吨标准煤.

19．(1)证明见解析

(2)

(1)

∵∥且EN平面MNE ,BC平面MNE ,

∴BC∥平面MNE ,

又∵∥且EM平面MNE , 平面MNE ,

∴∥平面MNE

又∵,   ∴ 平面∥平面,

(2)

由（1）得∥,

∴ 为直线MN与所成的角，

设正方体的棱长为a,

在△中，，，

∴.

20．(1)①；②17，理由见解析

(2)

 (1)

①月销售额在小组内的频率为

.

②若要使的推销员能完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成该目标.根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为0.18，故估计月销售额目标应定为（万元）.

(2)

根据直方图可知，月销售额为和的频率之和为0.08，由可知待选的推销员一共有4人.

设这4人分别为，则样本空间为{}，一共有6种情况

其中2人来自同一组的情况有2种

所以选出的推销员来自同一个小组的概率.

因，则

 21．(1)证明见解析

(2)

证明：连接，交于，连接，因为是直三棱柱，

则四边形为矩形，所以为中点，而点为的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

 22．(1)证明见解析；

(2)；

(3)点Q恒在直线上，理由见解析.

 (1)

证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交；

(2)

圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为：

(3)

设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上.