陕西省安康市2024−2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

这是一份陕西省安康市2024−2025学年高一上学期1月期末联考数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数 的图象恒过定点（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题；命题，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
3．有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（ ）
A．梯形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
4．在下列区间中，函数一定存在零点的有（ ）
A．B．C．D．
5．已知，且是方程的两根，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知某扇形的圆心角为，周长为10，设甲：为第二象限角；乙：该扇形的面积为6，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．C．D．
10．已知为锐角，角的始边均为轴正半轴，终边关于轴对称，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．现定义：若对定义域内任意，都有，其中为正数，则称函数为“倍平移函数”，则（ ）
A．函数为“3倍平移函数”
B．函数不是“1倍平移函数”
C．函数是“2倍平移函数”
D．若函数是“2倍平移函数”，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则 ．
13．已知函数，若和的图象与轴的交点完全相同，则的最小值为 ．
14．已知函数，若，则的取值范围为 ，若
恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设集合．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
16．（1）求的值；
（2）已知，求的值.
17．已知幂函数的定义域为．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义法进行证明．
18．某人工调控的河流的河道容量上限可以用如下公式测算：，其中是河道宽度，是平均径流量，是平均蒸发量．
(1)若初始情况下，在不改动河道宽度的前提下，要使扩大，求应控制的值；
(2)已知径流量，证明：．
19．已知，函数，且在区间上单调递增．
(1)若，求曲线的对称轴与对称中心；
(2)当取最大值时，若，求的最小值；
(3)设函数，若对于任意的实数在区间上都不单调，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】对于函数（），令，即.
当时，.
所以函数（）的图象恒过定点.
故选：D.
2．【答案】B
【详解】由于，则命题是假命题，是真命题；
命题是真命题，是假命题，
故选：B
3．【答案】A
【详解】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同，
所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形.
故选：A.
4．【答案】B
【详解】显然，函数在以上区间都连续.
，，，，，
由于，所以函数在区间内不一定存在零点.
由于，根据函数零点存在定理，函数在区间内一定存在零点.
由于，所以函数在区间内不一定存在零点.
由于，所以函数在区间内不一定存在零点.
综上所得，函数在区间内一定存在零点.
故选：B.
5．【答案】C
【详解】在区间内，，.
已知和是方程的两根，
根据韦达定理有，.
因为，所以.
又因为，所以.则.
所以，
又，即，解得.
故选：C.
6．【答案】D
【详解】设扇形的半径为，弧长为，
则，解得或，
所以当时，（弧度），其为第二象限角；当时，（弧度），其不是第二象限角，
又第二象限角的范围为，
所以甲无法推出乙，乙也无法推出甲.
故选：D.
7．【答案】A
【详解】，因此；
，则
，
所以.
故选：A
8．【答案】B
【详解】正数满足，则
，当且仅当，即时取等号，
所以
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4.
故选：B
9．【答案】ACD
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，所以，故D正确；
故选：ACD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A选项，不能确定的值，A选项错误；
对于B选项，由题意，可得，是锐角，，，B选项正确；
对于C选项，由题意，由可得，，选项C正确；
对于D选项，由，，，
两边平方，得到，，D选项正确.
故选：BCD
11．【答案】AD
【详解】对于A，因为，又，
由于在上单调递增，所以，
所以函数为“3倍平移函数”，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以函数是“1倍平移函数”，故B错误；
对于C，因为，所以，
当时，，，即，
所以函数不是“2倍平移函数”，故C错误；
对于D，若，是“2倍平移函数”，
则，即对恒成立，
可得，
当时，可得，
整理得，所以，解得；
当时，可得，
整理得，所以，解得；
综上，，故D正确.
故选：AD.
12．【答案】
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】因为和的图象与轴的交点完全相同，则，即，
所以，解得，
又，所以的最小值为.
故答案为：.
14．【答案】 6
【详解】函数的定义域为R，，函数是偶函数，
当时，令，函数在上单调递增，而函数是增函数，
因此函数在上单调递增，，
则，解得或，
所以的取值范围为；
，当且仅当时取等号，
，
不等式，
而，当且仅当，即时取等号，
因此，所以的最大值为6.
故答案为：；6
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
所以，或，
若，，
所以.
（2）因为，所以，解得.
16．【答案】（1）5；（2）
【详解】（1）
；
（2）由可得，则，
所以，
所以.
17．【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
【详解】（1）因为是幂函数，所以，
解得或，
当，幂函数的定义域为，符合题意；
当，幂函数的定义域为，不符合题意；
所以，所以．
（2）在上单调递增，理由如下：
由（1）可得，
且，
所以，
因为，，所以，
又，所以，所以，
所以，所以，所以在上单调递增.
18．【答案】(1)63；
(2)证明见解析.
【详解】（1）当时，，扩大，即，
因此，即，则，所以
（2）当时，，
而，
又
,
所以，即原等式成立.
19．【答案】(1)对称轴为，对称中心为；
(2)；
(3).
【详解】（1）当时，，由在区间上单调递增，
得，解得，而，则，，
由，得；由，得，
所以曲线的对称轴为，对称中心为.
（2）由（1）知，，，，
由，得，整理得，
因此，，解得，则，
所以的最小值是.
（3）由（1）知，，
而
，
由对于任意的实数在区间上都不单调，
得函数在上至少取到一个最大值和一个最小值，即，解得，
所以的取值范围是.