湖南省长沙市部分学校2024-2025学年高二下学期金太阳开学联考数学试题

这是一份湖南省长沙市部分学校2024-2025学年高二下学期金太阳开学联考数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={x|x2-4x-5≤0}，B={-5,-3,-1,1,3}，则A∩B=( )
A. {-3,-1}B. {1,3}C. {-1,1,3}D. {-5,-3,-1,1}
2.在数列{an}中，若a1=1，an+1=5-an，则a100=( )
A. -6B. 1C. 3D. 4
3.已知a=lg0.61.6，b=0.011.1，c=0.12，则( )
A. c>b>aB. b>a>cC. b>c>aD. a>b>c
4.若球O被一个平面所截，所得截面的面积为2π，且球心O到该截面的距离为2，则球O的表面积是( )
A. 8πB. 12πC. 24πD. 32π
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(-2)=0，则不等式xf(x)>0的解集为( )
A. (-∞,-2)∪(2,+∞)B. (-2,0)∪(2,+∞)
C. (-∞,-2)∪(0,2)D. (-2,0)∪(0,2)
6.函数f(x)=2 3cs2(π4-x)-cs2x- 3在[0,π2]上的值域为( )
A. [-1,2]B. [-1,1]C. [1,2]D. [-2,2]
7.过点P( 2,1)作⊙O:x2+y2=1的切线PA，PB，切点分别为A，B，则PA⋅PB=( )
A. 13B. 23C. 33D. 2
8.已知数列{bn}满足b1=2，bn-bn-1=2n(n≥2)，设{1bn}的前n项和为Tn，若T3，T5，Tm成等差数列，则m=( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，B(1,1,2)，C(2,1,1)，D(1,1,1)，则( )
A. AB⊥CDB. AC与BD夹角的余弦值为 63
C. AC在BD上的投影向量为3BDD. 点A到直线BC的距离为 62
10.已知等比数列{an}的公比不为1，设{an}的前n项和为Sn，若a1=1，且a3，a2，a4成等差数列，则下列说法正确的是( )
A. a5=8a2B. 数列{Sn-13}为等比数列
C. Snan≤1D. Snan≥12
11.已知A，B，C是抛物线W:y2=28x上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为P(m,n)，则( )
A. 当m=9时，|AB|的最大值为32
B. 当m=8时，|CP|+|CF|的最小值为22
C. 当n=5时，直线AB的斜率为145
D. 当A，F，B三点共线时，点P到直线l的距离的最小值为14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用0，1，2这三个数字组成一个三位数(每个数字只能用一次)，则这个三位数是偶数的概率为 ．
13.已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，直线l经过F2，且与C的右支交于A，B两点，若|AF1|= |BF2|=3|AF2|，则C的离心率为 ．
14.如图，正八面体ABCDEF的每条棱长均为10 2，AF与BD交于点O，OA=5OH，M为正八面体ABCDEF内部或表面上的动点.若DF⋅MH=0，则MA⋅MD的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 3bcsA+ 3acsB+ctanA=0．
(1)求A;
(2)若a=4，求△ABC的面积的最大值．
16.(本小题15分)
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1B1的中点，AA1=A1C1=3，A1B1=4，∠C1A1B1=π3．
(1)证明：B1C/​/平面AMC1．
(2)求平面AMC1与平面BB1C1C夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3=9，4Sn=an2+2an+m．
(1)证明：{an}为等差数列．
(2)求m的值和{an}的通项公式．
(3)若数列{bn}满足bn=an-32n，其前n项和为Tn，证明：Tnb>0)的短轴长为2 5，且离心率为23．
(1)求C的方程．
(2)过点E(5,0)作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点F(1,0)作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点．
①证明：|ES||ET||FG||FH|为定值．
②求△EGH面积的取值范围．
19.(本小题17分)
在数列{an}中，若存在k(k≥2,k∈N)项之和等于{an}中的某一项，则称{an}是“k和数列”．
(1)若an=2n-1，判断{an}是否为“3和数列”，是否为“4和数列”，并说明理由．
(2)在正项数列{bn}中，b1=1，且∀n∈N*，b2n=2bn2.证明：
①{bn}可能是等比数列; ②若{bn}为等比数列，则{bn}不是“k和数列”．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】依题意得A={x|x2-4x-5≤0}={x|-1≤x≤5}，
又B={-5,-3,-1,1,3}，
则A∩B={-1,1,3}．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】由题意得an+2=5-an+1，
所以an+2=an，
则a100=a2=5-a1=4．
故选D．
3.【答案】A
【解析】b=0．011.1=0．12.2b>0，
a=lg0.61.6b>a．
故选A．
4.【答案】C
【解析】因为球O一截面的面积为2π，所以该截面圆的半径为 2．
又因为球心O到该截面的距离为2，
所以球O的半径R= 22+( 2)2= 6，
所以球O的表面积为4πR2=4π×6=24π．
故选C．
5.【答案】D
【解析】由题可知f(x)在(0,+∞)上单调递减，又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减，又f(-2)=0，所以f(-2)=-f(2)=0，
所以当x