湖南省长沙市部分学校2024-2025学年高二下学期开学联考数学试题（Word版附解析）

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这是一份湖南省长沙市部分学校2024-2025学年高二下学期开学联考数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2.在数列中，若，，则 ( )
A. B. 1 C. 3 D. 4
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.若球 O 被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心 O 到该截面的距离为 2，则球 O 的表面积是( )
A. B. C. D.
5.已知函数是定义在 R 上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
6.函数在上的值域为( )
A. B. C. D.
7.过点作的切线 PA，PB，切点分别为 A，B，则 ( )
A. B. C. D. 2
8.已知数列满足，，设的前 n 项和为，若，，成等差数列，
则 ( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，
部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则( )
A. B. 与夹角的余弦值为
C. 在上的投影向量为 D. 点 A 到直线 BC 的距离为
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10.已知等比数列的公比不为 1，设的前 n 项和为，若，且，，成等差数列，则下
列说法正确的是( )
A. B. 数列为等比数列
C. D.
11.已知 A，B，C 是抛物线上不同的动点，F 为抛物线 W 的焦点，直线 l 为抛物线 W 的准线，
AB 的中点为，则( )
A. 当时，的最大值为 32
B. 当时，的最小值为 22
C. 当时，直线 AB 的斜率为
D. 当 A，F，B 三点共线时，点 P 到直线 l 的距离的最小值为 14
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.用 0，1，2 这三个数字组成一个三位数每个数字只能用一次，则这个三位数是偶数的概率为 .
13.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线 l 经过，且与 C 的右支
交于 A，B 两点，若，则 C 的离心率为 .
14.如图，正八面体 ABCDEF 的每条棱长均为，AF 与 BD 交于点 O，，M 为正八面体 ABCDEF
内部或表面上的动点.若，则的最小值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证
明过程或演算步骤。
15. 本小题 12 分
记的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
求
若，求的面积的最大值.
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16. 本小题 12 分
在直三棱柱中，M 是的中点，，，
证明：平面
求平面与平面夹角的余弦值.
17. 本小题 12 分
已知正项数列的前 n 项和为，且满足，
证明：为等差数列.
求 m 的值和的通项公式.
若数列满足，其前 n 项和为，证明：
18. 本小题 12 分
已知椭圆的短轴长为，且离心率为
求 C 的方程.
过点作斜率不为 0 的直线与椭圆 C 交于 S，T 不同的两点，再过点作直线 ST 的平行线与椭
圆 C 交于 G，H 不同的两点.
①证明：为定值.
②求面积的取值范围.
19. 本小题 12 分
在数列中，若存在项之和等于中的某一项，则称是“k 和数列”.
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若，判断是否为“3 和数列”，是否为“4 和数列”，并说明理由.
在正项数列中，，且，证明：
① 可能是等比数列;②若为等比数列，则不是“k 和数列”.
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：依题意得，
又，
则
故选：
2.【答案】D
【解析】解：由题意得，
所以，
则
3.【答案】A
【解析】解：，且，
，
故
4.【答案】C
【解析】解：因为球 O 一截面的面积为，所以该截面圆的半径为
又因为球心 O 到该截面的距离为 2，
所以球 O 的半径，
所以球 O 的表面积为
故选
5.【答案】D
【解析】解：由题可知在上单调递减，又是定义在 R 上的奇函数，
所以在上单调递减，又，所以，
所以当或时，，当或时，，
则不等式等价于或解得或，
所以满足不等式的实数 x 的取值范围为
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6.【答案】A
【解析】解：
，
由，可得，
所以
7.【答案】B
【解析】解：由题可知，，，
则，
故
8.【答案】B
【解析】解：因为，且，
所以当时，
；
因为也满足，所以；
因为，所以，
若，，成等差数列，则，即，得
9.【答案】ABD
【解析】解：因为，，
所以，故 A 正确;
因为，，
所以，，故 B 正确;
因为，，
所以在上的投影向量为，故 C 错误;
因为，所以的一个单位方向向量为，
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因为，
所以点 A 到直线 BC 的距离为，故 D 正确.
10.【答案】BCD
【解析】解：设等比数列的公比为
由，，成等差数列，得，
整理得，则，
则，
，
，
所以，
数列是等比数列.
，
当 n 为奇数时，，单调递减，所以，
当 n 为偶数时，单调递增，所以，
故
11.【答案】ACD
【解析】解：设，因为，
所以当 A，F，B 三点共线时，有最大值 32，故 A 正确;
因为 P 在抛物线 W 内侧，所以的最小值为点 P 到直线 l 的距离，
所以，故 B 错误;
由得，
所以，故 C 正确;
当 A，F，B 三点共线时，点 P 到直线 l 的距离，
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而，所以，故 D 正确;
本题选：
12.【答案】
【解析】解：0，1，2 这三个数字组成一个三位数共有 4 种情况，其中偶数有 3 种情况，
故所求概率为
13.【答案】
【解析】解：设，则，，
因为，所以，解得，
即，，，，
则，所以
在中，，
即，得，
所以双曲线 C 的离心率为
14.【答案】
【解析】解：设过点 H 且与直线 DF 垂直的平面为
因为，所以点 M 的轨迹是平面截正八面体 ABCDEF 的截面.
如图，连接 OC，以 O 为坐标原点，OD，OC，OA 所在直线分别为 x，y，z 轴，
建立空间直角坐标系.设 AD 的中点为 T，
则，，，，，
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设，则，，
所以，得，
，
因为，
所以，
当，时，取得最小值，且最小值为
15.【答案】解：因为，
所以，
则，即，
所以，
故
由余弦定理可得
因为，所以，所以，
当且仅当时，等号成立.
故的面积的的最大值为
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】证明：连接，交于点 D，连接
因为三棱柱为直三棱柱，
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所以四边形为矩形，所以 D 为的中点.
又 M 是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面
解：如图，过点在平面内作
因为三棱柱为直三棱柱，
所以，，两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.
又，，，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则
令，得，，
故为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
则
解得，令，得，
故为平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，则
因为，
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所以平面与平面夹角的余弦值为
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】证明：由，
可得，
相减可得，
因此，
则
因为为正项数列，
所以，则，
所以，
故数列为等差数列，且公差为
解：因为，，所以，
当时，，解得，
证明：因为，
所以，，
两式相减得，
所以
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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18.【答案】解：设 C 的半焦距为，则
因为，所以
故 C 的方程为
设直线 ST 的方程为，则直线 GH 的方程为
联立得，
由，得
设，，则
联立得
设，，则
①证明：因为，所以，是定值
②因为的面积，
且，
所以，
设，则
因为函数在上单调递增，所以，
故
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：是“3 和数列”，不是“4 和数列”.
理由如下：因为，所以
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又，所以是“3 和数列”.
由题可知中的每一项均是奇数，则中的任意 4 项之和肯定为偶数，与中的任何一项均不相等，
故不是“4 和数列”.
证明：①由，，得
若是等比数列，则的公比，
则，
则，，符合，
故可能是以 2 为公比的等比数列.
②由①可得，假设是“k 和数列”，
则存在，，，，，使得，
不妨令
若，则，且，
则，
因为，所以为正偶数，
则为大于 1 的正奇数.
因为不可能是大于 1 的正奇数，
所以，这与矛盾，从而假设不成立，
则不是“k 和数列”.
若，则，
则
由，得，
显然有，
则，
则，
即
由，可得为正偶数，
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则为正奇数，为正偶数，
则不可能成立，从而假设不成立，
则不是“k 和数列”.
综上所述，不是“k 和数列”.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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