湖南省长沙市芙蓉高中等部分学校2024-2025学年高二下学期开学联考数学试题（含答案）

这是一份湖南省长沙市芙蓉高中等部分学校2024-2025学年高二下学期开学联考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={x|x2−4x−5≤0}，B={−5,−3,−1,1,3}，则A∩B=( )
A. {−3,−1}B. {1,3}C. {−1,1,3}D. {−5,−3,−1,1}
2.在数列{an}中，若a1=1，an+1=5−an，则a100=( )
A. −6B. 1C. 3D. 4
3.已知a=lg0.61.6，b=0.011.1，c=0.12，则( )
A. c>b>aB. b>a>cC. b>c>aD. a>b>c
4.若球O被一个平面所截，所得截面的面积为2π，且球心O到该截面的距离为2，则球O的表面积是( )
A. 8πB. 12πC. 24πD. 32π
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(−2)=0，则不等式xf(x)>0的解集为( )
A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−2,0)∪(2,+∞)
C. (−∞,−2)∪(0,2)D. (−2,0)∪(0,2)
6.函数f(x)=2 3cs2(π4−x)−cs2x− 3在[0,π2]上的值域为( )
A. [−1,2]B. [−1,1]C. [1,2]D. [−2,2]
7.过点P( 2,1)作⊙O:x2+y2=1的切线PA，PB，切点分别为A，B，则PA⋅PB=( )
A. 13B. 23C. 33D. 2
8.已知数列{bn}满足b1=2，bn−bn−1=2n(n≥2)，设{1bn}的前n项和为Tn，若T3，T5，Tm成等差数列，则m=( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，B(1,1,2)，C(2,1,1)，D(1,1,1)，则( )
A. AB⊥CDB. AC与BD夹角的余弦值为 63
C. AC在BD上的投影向量为3BDD. 点A到直线BC的距离为 62
10.已知等比数列{an}的公比不为1，设{an}的前n项和为Sn，若a1=1，且a3，a2，a4成等差数列，则下列说法正确的是( )
A. a5=8a2B. 数列{Sn−13}为等比数列
C. Snan≤1D. Snan≥12
11.已知A，B，C是抛物线W:y2=28x上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为P(m,n)，则( )
A. 当m=9时，|AB|的最大值为32
B. 当m=8时，|CP|+|CF|的最小值为22
C. 当n=5时，直线AB的斜率为145
D. 当A，F，B三点共线时，点P到直线l的距离的最小值为14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用0，1，2这三个数字组成一个三位数(每个数字只能用一次)，则这个三位数是偶数的概率为 ．
13.已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，直线l经过F2，且与C的右支交于A，B两点，若|AF1|= |BF2|=3|AF2|，则C的离心率为 ．
14.如图，正八面体ABCDEF的每条棱长均为10 2，AF与BD交于点O，OA=5OH，M为正八面体ABCDEF内部或表面上的动点.若DF⋅MH=0，则MA⋅MD的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 3bcsA+ 3acsB+ctanA=0．
(1)求A;
(2)若a=4，求△ABC的面积的最大值．
16.(本小题12分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M是A1B1的中点，AA1=A1C1=3，A1B1=4，∠C1A1B1=π3．
(1)证明：B1C/​/平面AMC1．
(2)求平面AMC1与平面BB1C1C夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3=9，4Sn=an2+2an+m．
(1)证明：{an}为等差数列．
(2)求m的值和{an}的通项公式．
(3)若数列{bn}满足bn=an−32n，其前n项和为Tn，证明：Tnb>0)的短轴长为2 5，且离心率为23．
(1)求C的方程．
(2)过点E(5,0)作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点F(1,0)作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点．
①证明：|ES||ET||FG||FH|为定值．
②求△EGH面积的取值范围．
19.(本小题12分)
在数列{an}中，若存在k(k≥2,k∈N)项之和等于{an}中的某一项，则称{an}是“k和数列”．
(1)若an=2n−1，判断{an}是否为“3和数列”，是否为“4和数列”，并说明理由．
(2)在正项数列{bn}中，b1=1，且∀n∈N∗，b2n=2bn2.证明：
①{bn}可能是等比数列; ②若{bn}为等比数列，则{bn}不是“k和数列”．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.C
5.D
6.A
7.B
8.B
9.ABD
10.BCD
11.ACD
12.34
13. 102
14.−18
15.解：(1)因为 3bcsA+ 3acsB+ctanA=0，
所以 3sinBcsA+ 3sinAcsB=−sinCtanA，
则 3sin(A+B)=−sinCtanA，即 3sinC=−sinCtanA，
所以tanA=− 3，
故A=2π3．
(2)由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2+bc=16．
因为b2+c2≥2bc，所以3bc≤16，所以bc≤163，
当且仅当b=c=4 33时，等号成立．
故△ABC的面积的的最大值为12×163sinA=4 33．
16.(1)证明：连接A1C，交AC1于点D，连接MD．
因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，
所以四边形AA1C1C为矩形，所以D为A1C的中点．
又M是A1B1的中点，所以DM//B1C，
因为DM⊂平面AMC1，B1C⊄平面AMC1，
所以B1C/​/平面AMC1．
(2)解：如图，过点A1在平面A1B1C1内作A1P⊥A1C1．
因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，
所以A1P，A1A，A1C1两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
又AA1=A1C1=3，A1B1=4，∠C1A1B1=π3，
则A1(0,0,0)，B1(2 3,2,0)，C1(0,3,0)，M( 3,1,0)，A(0,0,3)，B(2 3,2,3)，
所以AC1=(0,3,−3)，MC1=(− 3,2,0)，B1C1=(−2 3,1,0)，B1B=(0,0,3)．
设平面AMC1的法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅AC1=3b−3c=0,m⋅MC1=− 3a+2b=0,
令a=2，得b= 3，c= 3，
故m=(2, 3, 3)为平面AMC1的一个法向量．
设平面BB1C1C的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BB1=3z=0,n⋅B1C1=−2 3x+y=0,
解得z=0，令x=1，得y=2 3，
故n=(1,2 3,0)为平面BCC1B1的一个法向量．
设平面AMC1与平面BCC1B1的夹角为θ，则θ∈[0,π2].
因为csθ=|cs|=|m⋅n|m||n||=8 10× 13=4 13065，
所以平面AMC1与平面BCC1B1夹角的余弦值为4 13065．

17.(1)证明：由4Sn=an2+2an+m，
可得4Sn+1=an+12+2an+1+m，
相减可得an+12−an2+2an+1−2an=4Sn+1−4Sn=4an+1，
因此an+12−an2=2(an+1+an)，
则(an+1+an)(an+1−an−2)=0．
因为{an}为正项数列，
所以an+1+an>0，则an+1−an−2=0，
所以an+1−an=2，
故数列{an}为等差数列，且公差为2．
(2)解：因为an+1−an=2，a3=9，所以a1=5，
当n=1时，4S1=a12+2a1+m，解得m=−15，
an=a3+2(n−3)=2n+3．
(3)证明：因为bn=an−32n=2n2n=n2n−1，
所以Tn=120+221+⋯+n2n−1，12Tn=121+222+⋯+n2n，
两式相减得12Tn=1+121+122+⋯+12n−1−n2n=2−n+22n，
所以Tn=4−n+22n−10)，则b= 5,ca=23.
因为a2=b2+c2，所以a=3,c=2,
故C的方程为x29+y25=1．
(2)设直线ST的方程为x=my+5，则直线GH的方程为x=my+1．
联立5x2+9y2=45,x=my+5,得(5m2+9)y2+50my+80=0，
由Δ=(50m)2−4(5m2+9)×80>0，得m2>165．
设s(x1,y1)，T(x2,y2)，则y1+y2=−50m5m2+9y1y2=805m2+9．
联立5x2+9y2=45,x=my+1,得(5m2+9)y2+10my−40=0．
设G(x3,y3)，H(x4,y4)，则y3+y4=−10m5m2+9,y3y4=−405m2+9.
①证明：因为ST//GH，所以|ES||ET||FG||FH|= 1+m2|y1|⋅ 1+m2|y2| 1+m2|y3|⋅ 1+m2|y4|=|y1y2||y3y4|=|805m2+9−405m2+9|=2，是定值
②因为△EGH的面积S=S△EFG+S△EFH=12|EF|⋅|y3−y4|=2|y3−y4|，
且|y3−y4|= (y3+y4)2−4y3y4= (−10m5m2+9)2−4×−405m2+9=6 5× 5m2+85m2+9，
所以S=2|y3−y4|=12 5× 5m2+85m2+9，m2>165．
设t= 5m2+8>2 6，则S=12 5tt2+1=12 5t+1t．
因为函数f(t)=t+1t在(2 6,+∞)上单调递增，所以f(t)∈(25 612,+∞)，
故S∈(0,24 3025).

19.解：(1){an}是“3和数列”，不是“4和数列”．
理由如下：因为an=2n−1，所以a1+a2+a3=1+3+5=9．
又a5=9，所以{an}是“3和数列”．
由题可知{an}中的每一项均是奇数，则{an}中的任意4项之和肯定为偶数，与{an}中的任何一项均不相等，
故{an}不是“4和数列”．
(2)证明： ①由b1=1，b2n=2bn2，得b2=2b12=2．
若{bn}是等比数列，则{bn}的公比q=b2b1=2，
则bn=b1qn−1=2n−1，
则b2n=22n−1，2bn2=2×(2n−1)2=22n−1，符合b2n=2bn2，
故{bn}可能是以2为公比的等比数列．
②由 ①可得bn=2n−1，假设{bn}是“k和数列”，
则存在n1，n2，⋯，nk，nj∈N∗，使得bn1+bn2+⋯+bnk=bnj，
不妨令n1