贵州省遵义市赤水市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份贵州省遵义市赤水市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的补集及交集计算即可.
【详解】因为集合，，
则，
则.
故选：A.
2. 已知命题，则命题的否定为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由特称（存在）量词命题否定是全称量词命题直接可得.
【详解】由特称（存在）量词命题否定是全称量词命题直接可得：
命题的否定为：.
故选：D
3. 经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可.
【详解】由于直线AB的倾斜角为，则该直线AB的斜率为，
又因为，，所以，解得．
故选:B．
4. 已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点的坐标，利用平面内两点间的距离公式求出的值，即可得出该抛物线的准线的方程.
【详解】抛物线的焦点为，
则，且，解得，
故该抛物线的准线方程为.
故选：C.
5. 空间直角坐标系中，平行四边形的三点坐标分别为，，，则D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用在平行四边形中有，计算即可.
【详解】结合题意：设D的坐标为，
因为，，，
所以,，
因为在平行四边形中有，
所以，解得，所以D的坐标为.
故选：B.
6. 已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，利用点差法求解即可．
【详解】设，代入椭圆的方程可得，．
两式相减可得：．
由，，代入上式可得：
＝0，化为．
又，，联立解得．
∴椭圆的方程为：．
故选：C．
7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点，，点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设于，则由已知条件可求出，，再利用椭圆的定义可求出，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率.
【详解】如图，设于，
则由题意得，，
∴，，
由椭圆定义可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
可得.
故选：A
8. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点．则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建系，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】如图，以A为坐标原点，为轴所在直线，建立空间直角坐标系，
则，
因为点分别为的中点．则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
所以点到平面的距离为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. 当时，曲线C是椭圆
B. 当或时，曲线C是双曲线
C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项.
【详解】A选项，曲线椭圆等价于，解得且，故A错误；
B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；
C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；
D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确.
故选：BCD.
10. 以下四个命题，其中是真命题的有（ ）．
A. 命题“”否定是“”
B. 若，则
C. 函数且的图象过定点
D. 若某扇形的周长为6cm，面积为2，圆心角为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据全称命题的否定可判断；对于B，由不等式的性质可判断；对于C，由对数函数的性质可判断；对于D，由扇形的周长、面积公式计算可判断.
【详解】对于A，由全称命题的否定，可知选项A正确；
对于B，若，则，根据的单调性，可知，故B不正确；
对于C，当时，，故其过定点，故C正确；
对于D，设扇形的半径为，弧长为，则有，
又，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数若方程有四个不等实根.下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据函数得到，化简得到A正确，根据图像知B正确，利用均值不等式得到C错误，计算得到D正确，得到答案.
【详解】当时，，，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，即，，A正确；
，B正确；
，，，即，
即，展开得到，
解得，由于，等号不成立，故C错误；
，故，，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标运算及平行坐标运算计算求解.
【详解】因为向量，，
所以，
又因为，所以
则．
故答案为：.
13. 求圆上的动点到直线距离的最大值_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解.
【详解】圆可化为，其圆心为，半径为1，
圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最大值为.
故答案为：.
14. 圆台的上、下底面半径分别是10和20，体积是，则圆台的母线长为______.
【答案】20
【解析】
【分析】结合图形，利用圆台的体积公式以及勾股定理进行求解.
【详解】如图，圆台的上、下底面半径分别是10和20，所以，
设圆台上底面面积为，下底面面积为,高为，母线长为，
所以，，
根据圆台的体积公式，
解得，在中，由勾股定理有：，
解得.则圆台的母线长为20.
故答案为：20.
【点睛】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问名职工，根据这名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
，，…，，．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）从评分在的受访职工中，随机抽取人，求此人的评分都在的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据频率直方图中各组的频率之和为1，列方程求参数a即可.
（2）由分层抽样确定名职工中、的人数，列出从中随机抽取人的可能组合，及其中人的评分都在的组合，即可求概率.
【详解】（1）由题意，，解得.
（2）由（1）知：名职工中、分别有2人、3人，
若为职工A、B，为职工1、2、3，
∴随机抽取人的可能组合、、、、、、、、、共10种，其中人的评分都在有，即1种，
∴人的评分都在的概率为
16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．
（1）求角A的大小；
（2）求周长的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理变化题中条件，得到边的关系式，再由余弦定理求得的值，即可；
（2）根据正弦定理求得，，把周长转化为角的关系式，利用辅助角公式进行变形，最后根据角的范围求解即可.
【小问1详解】
由余弦定理，，
化简得，
所以，
因为，所以
【小问2详解】
由正弦定理：，
则，，
由（1），故
因为，则，
所以，即周长范围是．
17. 在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理得，则，又平面，由线面垂直的性质定理可得，由线面垂直的判定定理，即可得出答案．
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，，进而可得答案．
【小问1详解】
证明：底面中，已知，，，
由余弦定理得，
所以，
又平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面．
【小问2详解】
由（1）可知、、三直线两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

，
所以，
设平面与平面的法向量分别为，
则有，
取，则，，
所以，
设平面的法向量分别为，
则有，
取，则，，
所以，
设平面与平面的夹角为，则．
18. 已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析即可得解；
（2）联立直线与曲线的方程，利用弦长公式求得，再利用点线距离求得到直线的距离，从而利用三角形面积公式即可得解.
【小问1详解】
由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由条件可得，即，
则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则，可得，
所以曲线的方程为．
【小问2详解】
依题意，直线的方程为，即，
联立，消去，得，
易知，设，则，
所以，
而到直线的距离为，
所以的面积为.
19. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点，点，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，结合题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式求出和的值，进而可得椭圆的方程；
（2）对直线的斜率是否为零进行讨论，当直线斜率存在且不为零时，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和斜率公式再进行求证即可．
【小问1详解】
因为椭圆的离心率为，，
所以，解得，则椭圆的方程为；
【小问2详解】
由（1）知，若直线的斜率为，
此时直线的方程为，显然成立；
若直线的斜率不为，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，由韦达定理得，，
易知，，
所以
．
故．
【点睛】求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的离心率以及”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程.