数学拓展模块一（上册）抛物线的标准方程优秀教案

这是一份数学拓展模块一（上册）抛物线的标准方程优秀教案，共7页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
教学重难点
教学重点：四种抛物线标准方程.
教材分析
教学难点：处理与代数中抛物线之间的关系．
教学工具
本节课是抛物线的第一课时，本节在初中以二次函数图像的形式初步探讨过，现在是在学习了椭圆、双曲线以后的又一种圆锥曲线，是对研究学习抛物线方法和思想的深化.
教学过程
教学课件
（一）情境导入
平南三桥位于广西壮族自治区，是2020 年建成的世界上最大的跨径拱桥，多项技术填补了世界拱桥空白，成为“中国桥梁”建造的新名片．观察下图，桥拱的轮廓线是什么图形？有什么特点？
可以看出，拱桥的轮廓线是一条形如彩虹的曲线，人们称之为抛物线．
那么，如何画出抛物线呢？
【设计意图】创设情境帮助学生直观感受“生活中的抛物线”.
（二）探索新知
可以看出,拱桥的轮廓线是一条形如彩虹的曲线,人们称之为抛物线．那么,如何画出抛物线呢？
我们可以通过一个实验来完成.
（1）将一把直尺固定在画板上,再取一个直角三角板,紧靠直尺 的一边l放置：
（2）取一条拉链,把它的一端固定在三角板的顶点C处,另一 端固定在画板上的点F处；
（3）将笔尖(点 M)放在拉链锁扣处保持锁扣与C端的拉链部 分始终在 CA 上,让三角板靠紧直尺并沿直尺边缘滑动，笔尖随之移 动,就画出了一段曲线；
（4）当直角三角板的边 AC 经过点下时,向下翻转三角板．保持锁扣与C端的拉链部分始终在 CA 上,让三角板靠紧直尺继续沿直尺边缘滑动,笔尖又画出一段曲线.
显然,笔尖(即点M )始终保持到定点 F 的距离与到直尺边 l 的距离相等(|MF|=|MC|).
一般地,把平面内与一个定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.
定点 F 称为抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线.
我们从椭圆和双曲线的定义出发，通过建立合适的平面直角坐标系，分别求出了椭圆和双曲线的方程．那么，如何从抛物线的定义出发，建立恰当的平面直角坐标系来求出抛物线的方程呢？
x²a² + y²b²=1 (a>b>0)
x²a² - y²b²=1 (a>0，b>0)
取过焦点 F且垂直于准线l 的直线为x轴；记x轴与准线l 的交点为 E,以线段 EF的垂直平分线为y轴,如图所示.设焦点到准线的距离为 p(p>0),即|EF|=p，则焦点F的坐标为，准线 l 的方程为
设M(x,y)为抛物线上的任意一点,点M到l的距离为|MN|,则有|MF|=|MN|.
于是,可得
将上式两边平方得
展开并整理得 y²=2px(p>0).
上面方程称为抛物线的标准方程.
类似地,通过建立不同的平面直角坐标系,可以得到抛物线其他三种形式的标准方程：y²=-2px, x² =2py, x² =-2py. 它们的焦点坐标、准线方程及图形归纳见表:
【设计意图】注意强调抛物线方程中参数p的几何意义，引导学生观察图像与标准方程之间的联系
（三）典例剖析
例1. 根据条件,求抛物线的标准方程.
（1）焦点为F（0，－3）；
（2）准线方程为;
（3）焦点在y轴的正半轴上，并且p = 3.
解 （1）由于焦点在y轴的负半轴上，并且
，
即 p = 4．
故抛物线的标准方程为 ．
（2）由准线方程为知，焦点在x轴的负半轴上，并且
，
即 p =2．
故抛物线的标准方程为 ．
（3）由于焦点在y轴的正半轴上，并且p = 3，故抛物线的标准方程为
．
例2. 求下列抛物线的交点坐标和准线方程.
（1）y²=8x；（2）x²+4y=0.
解: （1）抛物线的焦点在x轴的正半轴上，并且2p = 8，所以．
故焦点坐标为（2，0），准线方程为x = －2．
（2）将方程化成标准方程，为．
抛物线的焦点在y轴的负半轴上，并且－2p = －4，所以．
故焦点坐标为，准线方程为．
判断抛物线的焦点在哪个坐标轴上是解决有关抛物线问题的关键,为此可将抛物线方程化为标准方程，观察标准方程中的一次项,如果一次项含变量x,并且系数为正(或为负),则焦点在x轴的正半轴(或负半轴)上;如果一次项含变量,并且系数为正(或为负),则焦点在y轴的正半轴(或负半轴)上.
【设计意图】例1利用定义直接解决问题，例2引导学生先将抛物线方程化为标准形式.
（四）巩固练习
1. 根据条件，求抛物线的标准方程．
（1）焦点为F(0，2)； （2）焦点是为F(-2，0) ；
（3）准线方程为y=1；（4）准线方程为x= 1．
解：(1) 因为抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是.
（2）因为抛物线的焦点是，所以开口向左，
设抛物线方程为，
又，则，所以抛物线方程为.
（3）由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，则其准线方程为，得
故该抛物线的标准方程是，
（4）由题知，抛物线的准线方程为， 所以抛物线开口向左，，即，
设拋物线的标准方程为，所以拋物线的标准方程为，
2．抛物线的焦点坐标为 ．
解：由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.
故答案为：.
3．抛物线的准线方程为 ．
解：因为，所以，所以抛物线的准线方程为．
故答案为：
4．已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
解：抛物线的准线方程为，
又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为.
故选：B
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺.
（五）归纳总结
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（六）布置作业
练习3.3.1；习题3.3- 1,3题