中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）向量内积的坐标表示一等奖教学设计

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）向量内积的坐标表示一等奖教学设计，共4页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
2. 会用向量坐标解决有关向量大小、垂直等问题．
教学重难点
教学重点：会用向量的坐标形式进行向量运算, 判定两个向量垂直.
教材分析
教学难点：向量内积的坐标表示的几何应用．
教学工具
本课从数轴上的点与实数一一对应、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应开始，通过探究起点在原点的向量OA 与单位向量 i，j 之间的关系，把向量OA 分解为 xi 和 yj 之和，建立了向量OA 与点 A的坐标(x，y)之间的关系，并且OA =xi+yj；接着利用向量的减法建立了任一向量 AB 与它的终点 B 与起点 A 的坐标的差之间的关系，AB =(x2-x1) i +(y2- y1) j．这两个式子表明任意一个向量都可以用一个有序实数．
教学课件
教学过程
（一）情境导入
对于向量a= (x1,y1)，b= (x1,y1)，内积a · b是否可以用坐标表示呢？如何表示呢？
【设计意图】延续原有知识脉络.
（二）探索新知
由a=(x1,y1)、b=(x2,y2)知，a=x1i+ y1 j，b=x2i+ y2 j．根据向量内积的定义，i·j = j·i=0， i·i =| i |² = 1，j·j =| j |² = 1 ，有
a·b=(x1i+ y1 j)·(x2i+ y2 j)=x1x2i·i +x1y2i·j +y1x2 j·i +y1y2 j·j
=x1x2 +y1y2 ．
这说明,两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a·b= x1x2 +y1y2 ．
根据内积的定义，还可以得到以下结论：
（1）a⊥b a·b=0  x1x2 +y1y2 =0；
（2）|a|=a·a=x1² + y1²；
（3）cs a,b=a·b|a||b|=x1x2 +y1y2x1² + y1²x2² + y2²．
1．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
两结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
2．向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up16(→))＝(x2－x1，y2－y1)，∴|eq \(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．
【设计意图】向量的坐标表示将向量的内积运算代数化进而解决有关几何问题.
（三）典例剖析
例1. 已知向量 a=(3，4)，b=(−2， 1)，求 a·b、|a|、|b|、cs.解：∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)
解 a·b=3×(-2)+4×1=-2．
|a|= a·a= x1² + y1² = 3² + 4² =5．
同理，|b|= (-2)² + 1² = 5 ．
cs a,b=a·b|a||b|=-25×5 =-2525 ．
例2. 判断下列各组向量是否互相垂直．
（1） a=(4,-6)，b=(9,6) ；
（2） a=(0,-2)，b=(1,-3) ．
解：（1）因为 a·b=4×9+(-6)×6=0，所以a⊥b ．
（2）因为 a·b=0×1+(-2)×(-3)=6≠0，所以a与b不垂直 ．
【设计意图】例 1是向量内积的坐标表示的几何应用；，例 2是水平二学业要求适当提高.
（四）巩固练习
1．已知向量，则（ ）
A．2B．C．10D．
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可求解.
【详解】由题意知，.
故选：A.
2．已知向量，，则= .
解: 向量，，则，
所以.
故答案为：1
3.判断下列各组向量是否垂直．
（1）a=(1,-3)，b=(3,-2)； 否
（2）a=(2,0)，b=(0,-7)； 是
（3）a=(-2,3)，b=(3,4) ． 否
4. 已知向量，，则（ ）
A．0B．1C．D．2
解：由题意，， ，因此.
故选：B
5．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
解：,
所以，
故选：B.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺.
（五）归纳总结
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（六）布置作业
练习2.4.3；习题2.4-A组8,9题B组4,5题