江苏省高邮市2024-2025学年高三下学期第一次联考试题 数学 含答案

这是一份江苏省高邮市2024-2025学年高三下学期第一次联考试题 数学 含答案，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z与复平面内的点对应，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．8 D．16
4．在二项式的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B．5 C．10 D．40
5．已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若在区间内恰好存在三个不同的，使得，则的最小正周期不可能为（ ）
A． B． C． D．
7．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（ ）
A． B．事件B与事件C为互斥事件
C．事件A与事件B为独立事件 D．
10．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等差数列 B．数列为等比数列
C． D．若，则数列的前项和
11．如图，在长方体中，，E，F分别是棱的中点，点G在棱上，则下列说法正确的是（ ）
A．当为靠近D的三等分点时，异面直线与所成角的余弦值为
B．存在点G，使得平面CEF
C．点B到平面CEF的距离是
D．过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若，则 .
13．点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为 .
14．已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在中，角、、所对的边为、、，已知.
(1)求角的值；
(2)若为边的中点，且，，求的面积.
16．（15分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值．
17．（15分）
近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？
(2)为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望.
参考公式：，.
（17分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，且右顶点和上顶点都在直线上.
(1)求C的方程；
(2)若直线l经过交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值；
(3)若过点的直线交于两点，点是线段上异于的一点，且，证明：
19．（17分）
已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围；
(3)若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
购买AI手机
购买不带AI的手机
总计
男性顾客
40
70
110
女性顾客
60
30
90
总计
100
100
200
0.010
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
高邮市高三 2024~2025学年第二学期第一次联考
参考答案
1.D 2.C 3.B 4.D 5.B 6.A 7.C 8.D 9.AC 10.BCD 11.ACD
12. 13. 2 14. 5
解：（1）由余弦定理可得，因为，故分
在中，因为D为AC边的中点，所以
故，即，即
解得或（舍）
所以分
16．解（1）在菱形中，，知为正三角形，又为线段的中点，则，即，平面平面，
又平面平面，又平面，
为线段的中点，，
又平面平面分
（2）如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，
设为平面的法向量，由得
令，则，即，
易知为平面的法向量，，
由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为，正切值分
17．解（1），所以可以认为购买AI手机与顾客的性别有关分
（2）根据题意可能取值为：
的分布列为
的期望分
18.解（1）在直线方程中，令，得，即上顶点，则，
令，得，即，则，所以的方程为分
（2）由题意可知直线的斜率一定不为0，设l的方程为，
联立得，
由韦达定理有
则
于是
令
根据单调性可得
则，故面积的最大值为分
（3）当直线的斜率为0时，不妨记，而，由，得，
则，因此；
当直线的斜率不为0时，设，直线的方程为，
由消去得，
则，，且，
如图，由，得点在线段的垂直平分线上，即，
显然，设，即，
于是，由点在直线上，得，
则，整理得，
于是，因此，，所以分
19.解（1）因为，，所以，.
因为，所以.所以若，则即在上恒成立，所以在为增函数；若，由；由.
所以函数在上递减，在上递增.
综上：当时，在为增函数；
当时，在上递减，在上递增分.
（2）设切点，切线斜率为：，所以切线方程为：.
因为切线过点，所以.整理得：（）
设（），则（）.
由，由.所以在上递减，在上递增.
又过点恰有2条与的图象相切的直线，所以直线与的图象有两个不同交点.
因为，，，所以.即所求的取值范围为分
（3）当时，，，.
设，则.
假设存在，（），使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率，即，
因为，所以.
设（），则（当且仅当时取“”）.
但，所以在恒成立.所以在上单调递增，又.
所以在上恒成立.即方程在上无解.
即满足条件的点不存在分