江苏省高邮市2024-2025学年高三下学期第一次联考数学试题（Word版附答案）

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1.D 2.C 3.B 4.D 5.B 6.A 7.C 8.D 9.AC 10.BCD 11.ACD
12. 13. 2 14. 5
解：（1）由余弦定理可得，因为，故分
在中，因为D为AC边的中点，所以
故，即，即
解得或（舍）
所以分
16．解（1）在菱形中，，知为正三角形，又为线段的中点，则，即，平面平面，
又平面平面，又平面，
为线段的中点，，
又平面平面分
（2）如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，
设为平面的法向量，由得
令，则，即，
易知为平面的法向量，，
由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为，正切值分
17．解（1），所以可以认为购买AI手机与顾客的性别有关分
（2）根据题意可能取值为：
的分布列为
的期望分
18.解（1）在直线方程中，令，得，即上顶点，则，
令，得，即，则，所以的方程为分
（2）由题意可知直线的斜率一定不为0，设l的方程为，
联立得，
由韦达定理有
则
于是
令
根据单调性可得
则，故面积的最大值为分
（3）当直线的斜率为0时，不妨记，而，由，得，
则，因此；
当直线的斜率不为0时，设，直线的方程为，
由消去得，
则，，且，
如图，由，得点在线段的垂直平分线上，即，
显然，设，即，
于是，由点在直线上，得，
则，整理得，
于是，因此，，所以分
19.解（1）因为，，所以，.
因为，所以.所以若，则即在上恒成立，所以在为增函数；若，由；由.
所以函数在上递减，在上递增.
综上：当时，在为增函数；
当时，在上递减，在上递增分.
（2）设切点，切线斜率为：，所以切线方程为：.
因为切线过点，所以.整理得：（）
设（），则（）.
由，由.所以在上递减，在上递增.
又过点恰有2条与的图象相切的直线，所以直线与的图象有两个不同交点.
因为，，，所以.即所求的取值范围为分
（3）当时，，，.
设，则.
假设存在，（），使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率，即，
因为，所以.
设（），则（当且仅当时取“”）.
但，所以在恒成立.所以在上单调递增，又.
所以在上恒成立.即方程在上无解.
即满足条件的点不存在分